Какова формула композиции двух векторов вращения ось-угол?

Большинство людей знают только о представлении вращений в виде матриц, кватернионов или углов Эйлера. Но есть еще один способ представления вращения, известный как представление оси-угла. Здесь вы рисуете вектор, известный как вектор вращения, величина которого равна углу поворота и который указывает вдоль оси вращения.

Теперь, поскольку конечные вращения не коммутируют, в общем случае вы не можете получить композицию двух вращений, взяв векторную сумму двух векторов вращения. (Это отличается от векторов угловой скорости, которые векторно складываются, как вы можете видеть в этом отрывке из учебника Тейлора по классической механике.) Итак, мой вопрос: какова формула для вектора вращения, соответствующего композиции двух векторов вращения?

Обратите внимание, что мне не нужна процедура, которая включает в себя преобразование из представления «ось-угол» в какое-либо другое представление (например, четвертинки или матрицы), получение композиции через это представление, а затем обратное преобразование в представление «ось-угол». Я говорю о явной формуле, которая дает вектор вращения композиции как функцию двух векторов вращения.

Ответы (1)

Формула приведена в этом отрывке из журнальной статьи. Он был открыт французским математиком Олинде Родригесом в 1840 году, до изобретения векторов или даже кватернионов (которые были изобретены до векторов).

Состав α л ^ и β м ^ (где применяется второе вращение, а затем применяется первое) определяется выражением γ н ^ , где потому что ⁡ γ 2 "=" потому что ⁡ α 2 потому что ⁡ β 2 − грех ⁡ α 2 грех ⁡ β 2 л ^ ⋅ м ^ и грех ⁡ γ 2 н ^ "=" грех ⁡ α 2 потому что ⁡ β 2 л ^ + потому что ⁡ α 2 грех ⁡ β 2 м ^ + грех ⁡ α 2 грех ⁡ β 2 л ^ × м ^ .

В качестве проверки работоспособности легко увидеть, что когда л ^ "=" м ^ , затем γ "=" α + β и н ^ "=" л ^ "=" м ^ .

В любом случае, эти формулы подробно доказаны в этой главе книги Саймона Альтмана «Вращения, кватернионы и двойные группы», но в основном они сводятся к этому сферическому треугольнику:

введите описание изображения здесь

См. также этот родственный результат , доказанный Уильямом Роуэном Гамильтоном после того, как он изобрел кватернионы.

Какова формула композиции двух векторов вращения ось-угол?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v