Угловая скорость относительно разных систем отсчета

У Гольдштейна сказано: «Интуитивно очевидно, что угол поворота перемещения твердого тела, как и вектор мгновенной угловой скорости, не зависит от выбора начала координат системы координат тела».

К сожалению, интуитивно не очевидно для меня.

Соответствующее уравнение для расчета скорости изменения вектора во времени между инерциальной и неинерциальной вращающейся системами отсчета:

( г р г т ) с "=" ( г р г т ) р + ю × р

где с обозначает пространственную фиксированную систему координат и р обозначает вращающуюся рамку.

Как может ю заданные как компоненты вектора в неподвижной системе отсчета, полностью описывают вращение вращающейся системы отсчета, оси которой закреплены, скажем, в твердом теле? Мне кажется, что выбор начала неподвижной оси тела также должен быть включен и имеет решающее значение для определения последующего движения. Начало определяет, через какую точку (точки) проходит ось вращения. Если я поверну твердое тело вокруг исходной точки п 1 с угловым моментом ю 1 , движение заведомо будет отличаться от вращения вокруг исходной точки п 2 также с ю 1 . Я рассмотрел доказательство того, почему вектор угловой скорости один и тот же при любом выборе происхождения тела, но все еще остаюсь в замешательстве. Почти единственное, с чем я могу смириться, это то, что одно и то же ю и два разных начала тел, ориентация вращения твердого тела будет одинаковой, но тело будет перемещаться совершенно иначе, чем начало координат, фиксированной в пространстве. Тем не менее, это заставляет меня думать, что это усложнит хорошее разделение поступательного и вращательного движения, которое мы ищем при решении уравнений движения.

Ответы (1)

Соответствующее уравнение для расчета скорости изменения вектора во времени между инерциальной и неинерциальной вращающейся системами отсчета:

( г р г т ) с "=" ( г р г т ) р + ю × р

где с обозначает пространственную фиксированную систему координат и р обозначает вращающуюся рамку.

Это соответствующее уравнение для мгновенной сопутствующей инерциальной системы отсчета. Как насчет несопутствующей пространственной рамы? Обобщение этого на пространственную систему отсчета, в которой движется начало вращающейся системы отсчета, приводит к

( г р г т ) с "=" ( г р 0 г т ) с + ( г ( р − р 0 ) г т ) р + ю × ( р − р 0 )

где р 0 - вектор смещения от начала координат пространственной системы отсчета до начала координат вращающейся системы отсчета.

Предположим, вы используете какую-то другую точку р 1 фиксированный с точки зрения системы вращения (т.е. ( г ( р 1 − р 0 ) г т ) р ≡ 0 . Пройдитесь по математике (упражнение я оставлю на ваше усмотрение), и вы обнаружите, что

( г р г т ) с "=" ( г р 1 г т ) с + ( г ( р − р 1 ) г т ) р + ю × ( р − р 1 )

Другими словами, угловая скорость ю не зависит от выбора источника.

Под совместно движущимся пространственным кадром вы имеете в виду, что начало пространственного кадра и начало вращающегося кадра всегда совпадают, верно?
@LoneWolf - Нет. Что, если рассматриваемый объект ускоряется? В любой момент времени существует инерциальная система отсчета, которая мгновенно совмещена с системой отсчета тела, имеет то же начало координат, что и система отсчета тела, и в которой мгновенная скорость начала системы отсчета равна нулю. Это мгновенная сопутствующая инерциальная система отсчета.
Если объект имел поступательное ускорение, а ось тела была зафиксирована в одной точке внутри объекта, это звучит так, как будто движущаяся вместе с ним инерциальная система отсчета также должна двигаться с тем же ускорением (начало координат всегда совпадает), чтобы мгновенная скорость система отсчета тела должна быть равна нулю относительно сопутствующей системы инерциального пространства. Верно? Почему мы называем такую ​​сопутствующую пространственную систему отсчета «инерциальной», если она явно ускоряется относительно несопутствующей инерциальной системы?
@Lone Wolf: « Если объект имел поступательное ускорение, а ось тела была зафиксирована в одной точке внутри объекта, похоже, что сопутствующая инерциальная система отсчета также должна двигаться с таким же ускорением (исходные точки всегда совпадают)» - - Такая рама/система будет (постоянно) сопутствующей, но обязательно не инерционной . Однако в плоской области можно выделить семейство мгновенно движущихся сопутствующих инерциальных систем, где члены любой одной такой системы определяют нулевую скорость одиночной ускоряющейся материальной точки « внутри объекта » только в одном событии.
Угловая скорость относительно разных систем отсчета
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v