Граничные условия для бозонов и фермионов при вычислении статистической суммы/индексных интегралов по путям

Рассмотрим вычисление интеграла по путям для статистической суммы:

(10.125) Z "=" Т р   [ опыт ⁡ ( − β ЧАС ) ] "=" ∫ А п Д ψ ¯ Д ψ   Д Икс   опыт ⁡ ( − С Е ) ,
и для Индекса (Зеркальная симметрия, (10.125) и (10.126)):
(10.126) Т р [ ( − 1 ) Ф опыт ⁡ ( − β ЧАС ) ] "=" ∫ п Д ψ ¯ Д ψ   Д Икс   опыт ⁡ ( − С Е ) .
При вычислении этих интегралов по траекториям указывается, что мы выбираем в

(10.125): периодические граничные условия для бозонов, но антипериодические граничные условия для фермионов.

(10.126): периодические граничные условия как для бозонов, так и для фермионов.

Что понятно, так это то, что когда я пытаюсь отбросить эти следы в представлении интеграла по путям, при использовании позиционного базиса периодичность бозонных путей становится очевидной. Поскольку это единственный способ получить представление интеграла по путям. Когда я пытаюсь сделать то же самое, используя фермионный базис когерентного состояния, фермионные траектории должны получиться антипериодическими/периодическими в (10.125)/(10.126), чтобы реализовать представление интеграла по траекториям.

Что не ясно, так это объяснение, данное в книге «Зеркальная симметрия», с. 191:

«Тот факт, что вставка ( − 1 ) Ф соответствует изменению граничных условий на фермионах, ясно и следует из того, что фермионы антикоммутируют с ( − 1 ) Ф . Таким образом, прежде чем брать след, фермионы умножаются на дополнительный знак минус. Что не совсем очевидно, так это то, что без вставки ( − 1 ) Ф , фермионы имеют антипериодические граничные условия по окружности..."

Нужна элементарная помощь, чтобы начать разбираться с этим аргументом.

Использованная литература:

  1. К. Хори, С. Кац, А. Клемм, Р. Пандхарипанде, Р. Томас, К. Вафа, Р. Вакил и Э. Заслоу, Зеркальная симметрия, 2003. Файл PDF доступен здесь .
Думайте об интеграле пути как об амплитуде перехода. Вы начинаете с состояния | ψ ⟩ , развивайте его вперед в евклидовом времени β , и произвести амплитуду ⟨ ψ ′ | е − β ЧАС | ψ ⟩ .
Трассировка указывает вам склеить два конца вместе и просуммировать по всем состояниям. т р ( е − β ЧАС ) "=" ∑ ψ ⟨ ψ | е − β ЧАС | ψ ⟩ , соответствующий интегралу по путям на евклидовом временном круге. Фермионы антипериодичны в статистической сумме, потому что они антикоммутируют.
Вставка ( − ) Ф внутри следа говорит вам умножить на ( − ) Ф прежде чем склеивать концы вместе, т р ( ( − ) Ф е − β ЧАС ) "=" ∑ ψ ⟨ ψ | ( − ) Ф е − β ЧАС | ψ ⟩ . Теперь вы развиваетесь | ψ ⟩ вперед во времени на β , а затем умножить на − 1 перед склейкой амплитуды, отменяя предыдущий знак.
@ user81003 Спасибо за ответ. Давайте возьмем отсюда, что вы имеете в виду, когда говорите: «... фермионы антипериодичны в статистической сумме, потому что они антикоммутируют». О каких фермионах идет речь? В выражении для следа виден оператор эволюции, зажатый между квантовыми состояниями... где фермионы?
@Kong Теория Z 2 симметрия ( − ) Ф "=" ± 1 . Под фермионами я подразумеваю состояния с ( − ) Ф "=" − 1 .

Ответы (1)

Обратите внимание, что периодическое граничное условие соответствует

∫ д ψ ⟨ ψ | е − β ЧАС | ψ ⟩ "=" Тр ( ( − 1 ) Ф е − β ЧАС ) .
Это можно увидеть, позволив | ψ ⟩ "=" | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ψ , так что ψ ^ | ψ ⟩ "=" | ψ ⟩ ψ , где я использую соглашение ψ ^ действует как понижающий оператор. Примечание ⟨ ψ ′ | ψ ⟩ "=" ψ ′ − ψ , версия дельта-функции Грассмана. Это указывает ⟨ ψ ′ | 0 ⟩ "=" ψ ′ и ⟨ ψ ′ | 1 ⟩ "=" − 1 . Так
∫ д ψ ⟨ ψ | е − β ЧАС | ψ ⟩ "=" ⟨ 0 | е − β ЧАС | 0 ⟩ − ⟨ 1 | е − β ЧАС | 1 ⟩ "=" Тр ( ( − 1 ) Ф е − β ЧАС ) .

Что ( − 1 ) Ф делает на языке оператора, чтобы изменить | ψ ⟩ к | − ψ ⟩ , так что ψ ^ | − ψ ⟩ "=" − | − ψ ⟩ ψ . Это исправляет знак минус в ⟨ 1 | е − β ЧАС | 1 ⟩ , поэтому антипериодическому краевому условию соответствует

∫ д ψ ⟨ ψ | е − β ЧАС | − ψ ⟩ "=" Тр ( е − β ЧАС ) .

Кстати, с точки зрения интеграла по траекториям можно наложить либо периодическое граничное условие, либо антипериодическое граничное условие для фермионов. В зависимости от симметрии теории можно даже наложить ψ ( т + л ) "=" е я α ψ ( т ) .

Хорошим справочником по этому вопросу является Polchinski Volume I, Приложение A.

Граничные условия для бозонов и фермионов при вычислении статистической суммы/индексных интегралов по путям
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v