Граничные условия в интеграле по путям голоморфного/когерентного состояния

Вопрос ОП, по сути, размышляет (в контексте голоморфного / когерентного интеграла пути состояния), является ли пара переменных комплексно-сопряженной парой или$^1$действительно независимые переменные?

TL;DR: Ну, это зависит.

Обозначение в этом ответе: В этом ответе пусть$z,z^{\ast}\in \mathbb{C}$обозначают два независимых комплексных числа. Позволять$\overline{z}$обозначают комплексное сопряжение$z$.

Напомним, что когерентное кет-состояние

$$|z \rangle~:=~e^{\hat{a}^{\dagger}z/\hbar}|0 \rangle, \qquad \hat{a}|z \rangle~=~z|z \rangle , \qquad [\hat{a},\hat{a}^{\dagger}]~=~\hbar \hat{\bf 1}.\tag{1}$$

это принято$^2$чтобы определить когерентное состояние бюстгальтера

$$\langle z | ~:=~ |\bar{z} \rangle^{\dagger} ~\stackrel{(1)}{=}~\langle 0 |e^{z\hat{a}/\hbar}\tag{2}$$

в терминах когерентного кет-состояния (1) путем включения комплексного сопряжения, ср. например, ссылка 1. Другими словами, у нас есть удобное правило, что

$$\langle z^{\ast} | ~\stackrel{(2)}{=}~ \langle 0 |e^{z^{\ast}\hat{a}/\hbar}, \qquad \langle z^{\ast} |\hat{a}^{\dagger} ~=~z^{\ast} \langle z^{\ast} | . \tag{3}$$

При таком соглашении (2) отношение полноты имеет вид$^3$

$$\int_{\mathbb{C}} \frac{d\bar{z}~dz}{2 \pi i\hbar} e^{-\bar{z}z/\hbar} |z \rangle\langle \bar{z} |~=~\hat{\bf 1}.\tag{4}$$

Важно понимать, что когерентные состояния представляют собой сверхполный набор состояний.

$$\langle z^{\ast}|z \rangle~=~e^{z^{\ast} z/\hbar} \tag{5}$$

с неортогональными перекрытиями. Когерентный интеграл пути состояния читается

$$\begin{align} \langle z_f^{\ast}, t_f | z_i, t_i \rangle ~=~& \int_{z(t_i)=z_i}^{\bar{z}(t_f)=z^{\ast}_f} \! {\cal D}\bar{z}~{\cal D}z ~e^{iS[z,\bar{z}]/\hbar}, \cr {\cal D}\bar{z}~{\cal D}z~:=~& \prod_{n=1}^N \frac{d\bar{z}_n~dz_n}{2 \pi i\hbar}, \end{align}\tag{6}$$

$$\begin{align} iS[z,z^{\ast}]~:=&~ (1-\lambda)z^{\ast}(t_f)~z(t_f) + \lambda z^{\ast}(t_i) z(t_i) \cr +& \int_{t_i}^{t_f}\! dt \left[\lambda \dot{z}^{\ast} z -(1-\lambda) z^{\ast} \dot{z}- iH_N(z^{\ast},z) \right],\end{align}\tag{7}$$

где$\lambda\in \mathbb{R}$— действительная константа, от которой действие (7) фактически не зависит в силу основной теоремы исчисления . Функция Гамильтона

$$H_N(z^{\ast},z)~:=~\frac{\langle z^{\ast}|\hat{H}(\hat{a}^{\dagger},\hat{a})|z \rangle}{\langle z^{\ast}|z \rangle}\tag{8}$$

- нормальная / упорядоченная по Вику функция / символ, соответствующая квантовому оператору Гамильтона

$$\hat{H}(\hat{a}^{\dagger},\hat{a})~=~\left. e^{\hat{a}^{\dagger}\frac{\partial}{\partial z^{\ast}}}e^{\hat{a}\frac{\partial}{\partial z}}H_N(z^{\ast},z)\right|_{z=0=z^{\ast}}.\tag{9}$$

Относительно упорядочения операторов в интеграле по путям см. также, например, этот пост Phys.SE.

В стандартном интеграле Фейнмана по путям есть 2 реальных граничных условия (BC), обычно BC Дирихле.

$$q(t_i)~=~q_i \qquad\text{and}\qquad q(t_f)~=~q_f.\tag{10}$$

Позиция$\hat{q}/\sqrt{2}$и импульс$\hat{p}/\sqrt{2}$операторы относятся к

$${\rm Re}(\hat{a})~:=~\frac{\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}}{2} \qquad\text{and}\qquad{\rm Im}(\hat{a})~:=~\frac{\hat{a}-\hat{a}^{\dagger}}{2i},\tag{11}$$

соответственно. В интеграле когерентного состояния (6) есть 2 сложных (= 4 действительных) BC

$$z(t_i)~=~z_i \qquad\text{and}\qquad \bar{z}(t_f)~=~z^{\ast}_f. \tag{12}$$

Другими словами, мы указываем как начальное положение, так и начальный импульс, наивно нарушая HUP . Аналогично для конечного состояния. Это связано со сверхполнотой (5) когерентных состояний.

Сверхполные BC (12) означают, что обычно не существует лежащего в основе физического классического пути с

$$z^{\ast}~=~\bar{z}\tag{13}$$

что удовлетворяет [помимо уравнений Эйлера-Лагранжа (EL)

$$\dot{z}~\approx~-i\frac{\partial H(z,z^{\ast})}{\partial z^{\ast}} \quad\text{and}\quad \dot{z}^{\ast}~\approx~i\frac{\partial H(z,z^{\ast})}{\partial z}, \tag{14}$$

то есть уравнения Гамильтона] все BC (12) одновременно, если мы не настроим BC (12) соответствующим образом, ср. например, ссылка 1. Точная настройка зависит от имеющейся теории.

Тем не менее в принципе всегда можно найти классический путь$t\mapsto (z_0(t),z_0^{\ast}(t))$в два раза больше переменных, что удовлетворяет уравнениям. (12) и (14), но не обязательно ур. (13). Затем мы можем использовать теорию сложных функций , чтобы деформировать$^4$контур интегрирования в интеграле пути когерентного состояния, чтобы интегрировать только по квантовым флуктуациям$\eta$

$$\langle z_f^{\ast}, t_f | z_i, t_i \rangle ~\stackrel{(6)}{=}~ \int_{\eta(t_i)=0}^{\bar{\eta}(t_f)=0} \! {\cal D}\bar{\eta}~{\cal D}\eta ~e^{iS[z_0+\eta,z_0^{\ast}+\bar{\eta}]/\hbar}, \tag{15}$$

и, таким образом, по-прежнему достигать приближения ВКБ/стационарной фазы вокруг классической траектории$(z_0,z_0^{\ast})$.

Использованная литература:

1. Л.С. Браун, QFT; Раздел 1.8.

--

$^1$Подробнее о комплексном сопряжении и независимости переменных см., например, в этом посте Phys.SE.

$^2$ Notabene: Некоторые авторы не включают комплексное сопряжение в определение (2), ср. например википедия !

$^3$В отображаемом порядке формулы в этом ответе также работают для грассмановского нечетного / фермионного интеграла пути когерентного состояния, за исключением того, что следует опустить коэффициент нормализации.$2\pi i$в уравнениях (4) и (6).

$^4$Деформацию контура интегрирования проще всего обосновать, используя переменные положения и импульса.

$$q~=~\frac{z+z^{\ast}}{\sqrt{2}} \qquad\text{and}\qquad p~=~\frac{z-z^{\ast}}{\sqrt{2}i} ,\tag{16}$$

это может быть сложно.