Гравитационное искажение диаметра объекта на расстоянии,

Question

Гравитационное искажение диаметра объекта на расстоянии,

Стив Руис

Из-за искривления пространства-времени объекты кажутся меньше, чем они есть на самом деле? Какова связь между оптическим искажением и массой объектов?

Qмеханик

Возможные дубликаты: physics.stackexchange.com/q/56334/2451 и physics.stackexchange.com/q/56430/2451.

Ответы (2)

Гравитационное искажение диаметра объекта на расстоянии,

Возможные дубликаты: physics.stackexchange.com/q/56334/2451 и physics.stackexchange.com/q/56430/2451.

Эдуардо Геррас Валера · Answer 1

Если, как я понимаю, ваш вопрос звучит так : «Заставляет ли масса объекта сам объект казаться меньше?» , тогда вау! это очень хорошо.

Я считаю, что ответ противоположный: из-за собственного гравитационного потенциала объект кажется больше, чем он есть на самом деле. Мы видим Солнце чуть больше, чем оно есть на самом деле. По сути, это тот же эффект, благодаря которому оливка в чашке для мартини кажется больше. Вместо мартини и стакана, замедляющих свет вокруг оливы, есть кривизна пространства-времени, замедляющая свет вокруг Солнца. Вы можете думать об этом таким образом, хотя форма стакана играет важную роль в аналогии.

Рассмотрим луч света, выходящий из точки совсем рядом с северным полюсом Солнца (А) и прибывающий позже на Землю (В). Если бы Солнце было безмассовым, линия АВ была бы прямой.

Как математически определить, что AB — прямая? в соответствии с принципом Ферма, который говорит нам, что время прохождения света по траектории, по которой следует световой луч, является постоянной величиной:

дельта \int_{т_{А}}^{т_{Б}} г т "=" 0

$\delta \int_{t_A}^{t_B}dt=0$

Стационарный здесь означает, что вы не можете даже немного изменить форму траектории без увеличения общего времени в пути, поэтому это путь с минимальным временем в пути. В отсутствие гравитации и в предположении, что пространство между А и В представляет собой идеальный вакуум, скорость света постоянна, и минимальное время достигается прямой линией. Поскольку [скорость]=[пространство]/[время], последний интеграл преобразуется в

дельта \int_{А}^{Б} \frac{г л}{с} "=" 0

$\delta\int_{A}^{B} \frac{dl}{c} = 0$

Теперь, поскольку Солнце имеет массу, оно искажает пространство-время. Чем ближе часы к массе, тем медленнее они идут, вы это знаете. Скорость света, будучи отношением пространства и времени, как и любая другая скорость, движется медленнее вблизи Солнца. Поэтому, $c$ не является постоянной величиной между A и B, и результат интеграла в принципе Ферма больше не является прямой линией.

Для качественного ответа вы можете представить гравитационный потенциал Солнца как расположение концентрических слоев. Во внутренних слоях скорость света меньше. Чтобы добраться из точки А в точку В за наименьшее время в пути, фотоны пытаются минимизировать путь через более медленные внутренние слои, тем самым искривляя траекторию. На этом рисунке сегмент $AI^1$ во внутренней области явно короче, чем $AI'^1$ , поэтому свет выбирает путь $A I^1 I^2 B$ . Наблюдатели на Земле (B) считают, что свет распространяется прямолинейно, и поэтому они воспринимают диаметр Солнца как больший (см. небольшой рисунок в правом верхнем углу).

введите описание изображения здесь

(Я мог бы загрузить лучший рисунок, когда вернусь с выходных)

Более формально, мы можем получить зависящее от положения выражение для скорости света, чтобы включить его в интеграл, учитывая, что метрика вокруг Солнца почти плоская, поэтому используя специальную теорию относительности плюс небольшое возмущение:

г_{мю ν} \approx η_{мю ν} + А {дельта}_{мю ν}

$g_{\mu\nu} \approx \eta_{\mu\nu} + A\delta_{\mu\nu}$

| А | ≪ 1

$|A|\ll 1$ Чтобы получить из этого асимптотически ньютоновскую гравитацию, A оказывается масштабированным ньютоновским гравитационным потенциалом,

А "=" \frac{2 ф}{с^{2}}

$A=\frac{2\phi}{c^2}$ поэтому бесконечно малый интервал (с +---) равен:

г с^{2} "=" (1 + \frac{2 ф}{с^{2}}) с^{2} г т^{2} - (1 - \frac{2 ф}{с^{2}}) (г {Икс}^{2} + г у^{2} + г г^{2})

$ds^2=(1+\frac{2\phi}{c^2})c^2dt^2-(1-\frac{2\phi}{c^2})(dx^2+dy^2+dz^2)$ Но фотоны эволюционируют в фазовом пространстве вдоль нулевых геодезических, поэтому

d s^{2} = 0

$ds^2=0$ и вы можете получить выражение для скорости света (в квадрате) вокруг Солнца как

с^{' 2} "=" \frac{(г {Икс}^{2} + г у^{2} + г г^{2})}{г т^{2}} "=" с^{2} \frac{1 + \frac{2 ф}{с^{2}}}{1 - \frac{2 ф}{с^{2}}}

$c'^2=\frac{(dx^2+dy^2+dz^2)}{dt^2} = c^2\frac{1+\frac{2\phi}{c^2}}{1-\frac{2\phi}{c^2}}$ С

\frac{2 ϕ}{c^{2}} ≪ 1

$\frac{2\phi}{c^2} \ll 1$ ,

(\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}})^{- 1} \approx 1 - x

$(\sqrt{\frac{1+x}{1-x}})^{-1} \approx 1-x$ , и тогда у вас есть это:

\frac{1}{с^{'}} "=" \frac{1}{с} (1 - \frac{2 ф}{с^{2}})

$\frac{1}{c'}=\frac{1}{c}(1-\frac{2\phi}{c^2})$ Следовательно, принцип Ферма между Солнцем и нами переводится как:

дельта \int_{А}^{Б} (1 - \frac{2 ф}{с^{2}}) г л "=" 0

$\delta\int_{A}^{B} (1-\frac{2\phi}{c^2}) dl = 0$ где

ϕ = - \frac{M_{S u n}}{\sqrt{x (l)^{2} + y (l)^{2} + z (l)^{2}}}

$\phi = -\frac{M_{Sun}}{\sqrt{x(l)^2+y(l)^2+z(l)^2}}$ является ньютоновским потенциалом. Решение для пути

x (l), y (l), z (l)

$x(l), y(l), z(l)$ это другой вопрос, связанный с уравнениями Эйлера-Лагранжа и более или менее интересным столкновением с реальностью, в котором вам, вероятно, придется сделать то или иное предположение, чтобы прийти к аналитическому решению...

В стандартном случае, когда фотоны фоновых звезд приходят из бесконечности и просто касаются поверхности Солнца, Эйнштейн провел расчеты в 1916 году и обнаружил, что угол отклонения составляет 1,8 угловых секунды. Поскольку нас здесь интересуют фотоны, исходящие от Солнца, потенциал отклоняет их на половине пути, и поэтому угол должен составлять около 0,9 угловых секунд.

То есть мы видим Солнце почти на 1,8 угловых секунды больше, чем «должны». При видимом диаметре в 32 угловых минуты кого это волнует?, но вы будете рады узнать, что внегалактические астрофизики подсчитывают с еще недостаточно точно определенным количественным смещением усиления во Вселенной, что примерно означает, что мы, вероятно, переоцениваем размер и свет от отдаленных источники из-за усиления, вызванного промежуточными массами (не совсем ваше утверждение, но тесно связанное).

С вашим вопросом также связан хорошо известный факт (предсказанный самим Эйнштейном), что частоты в спектральных линиях фотосферы Солнца немного краснее, чем частоты, измеренные в земных лабораториях, что является еще одним следствием более медленного хода часов вблизи массивных объектов.

Остальные расчеты, подобные тем, которые Эйнштейн сделал для Солнца, включают уравнения Эйлера-Лагранжа, а затем интегрирование по касательной невозмущенной траектории от -inf до +inf (аналогично борновскому приближению к рассеянию) для нахождения угла отклонения. Я ленив, и это в литературе. Дело в том, что массивные объекты искривляют путь своего собственного света внутрь , если смотреть с далекого наблюдателя, и поэтому они кажутся больше, чем они есть, для этого удаленного наблюдателя.

Джонатан Данн · Answer 2

«Истинные диаметры Солнца и Земли на 4,1 км и 4,4 мм соответственно больше, чем можно было бы ожидать, применяя евклидову геометрию (C = pi * d) к наблюдаемой поверхности этих тел». - http://www.johnstonsarchive.net/relativity/stcurve.pdf

Гравитационное искажение диаметра объекта на расстоянии,

Стив Руис

Qмеханик

Ответы (2)

Эдуардо Геррас Валера

Эдуардо Геррас Валера

Джонатан Данн

пользователь4552

Как гравитационное линзирование объясняет крест Эйнштейна?

Как быстро гравитация распространяется от созданной массы? [дубликат]

Инерционная и гравитационная масса

Что произойдет, если отрицательная масса пересекла горизонт событий черной дыры?

Шварцшильдов радиус черной дыры, движущейся линейно с постоянной скоростью

Почему инертная масса и гравитационная масса должны быть равны, а не просто пропорциональны?

Действительно ли инерция является свойством силы, а не массы?

Поверхностная гравитация и масса черной дыры

Почему гравитационная масса и инертная масса кажутся неразличимыми? [дубликат]

Аспект массы Бонди [дубликат]