Гравитационное красное смещение вокруг черной дыры Шварцшильда

Вот несколько идей по вашему вопросу:

Давайте рассмотрим путь, пройденный факелом в присутствии черной дыры, и предположим, что наблюдатель находится за горизонтом. Для простоты предположим, что источник света (факел) падает прямолинейно.

Немного алгебры и совсем немного физики , сочетая принцип эквивалентности и некоторые аспекты специальной теории относительности, можно показать, что геометрия траектории факела задается уравнением (с учетом только прямолинейного движения):

$ds^2=\left(1-\frac{2GM/c^2}{r}\right) c^2dt^2-\frac{dr^2}{\left(1-\frac{2GM/c^2}{r}\right)}$.

Где r — расстояние факела от центра ЧД, а М — масса ЧД. Коэффициенты$dt^2$и$dr^2$являются метрическими «компонентами тензора» геометрии пространства-времени для этого конкретного вопроса. Однако для света факела путь представляет собой геодезическую кривую — линию кратчайшего пути, по которому проходит свет в сильно искривленном пространстве-времени, и приведенное выше уравнение принимает вид$ds^2=0$следовательно:

$\left(1-\frac{2GM/c^2}{r}\right) c^2dt^2-\frac{dr^2}{\left(1-\frac{2GM/c^2}{r}\right)}=0$.

Последнее уравнение дает скорость источника света, факела, когда он падает к ЧД из-за пределов горизонта и наблюдается наблюдателем на очень большом расстоянии от ЧД.

$v(r)=c(1-2GM/c^2r)$.

Сдвиг частоты$z=\frac{f-f_0}{f_0}$относится к скорости источника света через уравнение

$v(r)=c\frac{z^2+2z}{z^2+2z+2}.$

Последнее уравнение дает способ изменения сдвига частоты в зависимости от$r$, и как на него влияет масса M ЧД. Здесь,$f$- частота, принимаемая наблюдателем, а$f_0$- фактическая частота, излучаемая источником света (факелом).

Было бы полезно, если бы ОП мог дать ссылку на то, где этот материал встречается в Кэрролле. Я просмотрел бесплатную версию arxiv (есть также бесплатная версия html ) и не смог ее найти. Вопрос также немного широк и расплывчат относительно того, какова предыстория ОП. В основном вопрос состоит из двух частей: (1) обоснование и интерпретация формы, данной Кэрроллом для коэффициента красного смещения, и (2) применение этого к проблеме падающей лампочки.

Что касается № 2, я думаю, что следующее работает как эвристический вывод формы отношения, данного Кэрроллом, и может помочь объяснить его физическое содержание и то, что означает математика. Четырехвектор энергии-импульса частицы$p$пропорциональна его четырехвектору скорости$v$. В основном это потому, что в каком другом направлении он мог бы указывать? (Это также имеет смысл с точки зрения правильного соответствия ньютоновскому соотношению$p=mv$.) Теперь у луча света на самом деле нет нормализуемого четырехвектора скорости, но это нормально, потому что мы просто работаем с пропорциями. Нам не нужна нормализация. Мы также знаем, что частотный четырехвектор$\omega$пропорциональна$p$. Для этого есть чисто классические причины, но людям современной эпохи это легче обосновать просто потому, что константа пропорциональности — это постоянная Планка в случае одиночного фотона.

В индексных обозначениях имеем$\omega^a \propto v^a$. Это в терминах контравариантной формы частоты, но обычно мы работаем с ее ковекторной формой, которая определяется таким образом, что для наблюдателя со скоростью$U$, оценка$\omega$(скаляр), на который приходят волновые фронты, равен$\omega=U^a\omega_a$. Поэтому у нас есть$\omega \propto U_a v^a$, что, по-видимому, говорит Кэрролл (хотя контекст отсутствует).

The $-$знак в Кэрролле — это просто константа пропорциональности, поэтому мы можем его игнорировать. Предположительно он у него там, потому что он работает в$-+++$метрика, и он хочет, чтобы она вышла положительной. $g_{\mu\nu}$там, потому что он понижает индекс. Тот факт, что наблюдатель неподвижен, на самом деле никоим образом не влияет на аргумент пропорциональности, но, по-видимому, для рассматриваемого им случая (возможно, доплеровский сдвиг относится к неподвижному наблюдателю на бесконечности) это предположение необходимо, чтобы сделать пропорциональность постоянным быть тем, что он дает. Выбор аффинного параметра$\lambda$является произвольным, и снова немного трудно понять, как Кэрролл намеревается разрешить эту двусмысленность, когда он устанавливает константу пропорциональности, поскольку любое переопределение аффинного параметра$\lambda\rightarrow a\lambda+b$изменит результат в несколько раз$a$. (А поскольку это нулевая геодезическая, то нет естественного выбора аффинного параметра, такого как собственное время.)

Что касается № 1, я думаю, нам нужно увидеть фактическую постановку проблемы, потому что некоторые вещи, похоже, не учитываются. Конкретно мне не понятно то ли фонарь роняли из состояния покоя на бесконечности или из положения покоя на$r_\text{obs}$. В любом случае вам, вероятно, потребуется найти четырехвектор скорости, когда он достигнет$r_e$, но это будет отдельный расчет. Кроме того, не указано, находится ли наблюдатель в покое или движется относительно черной дыры. Если в покое, то наблюдатель должен находиться за горизонтом, и вспышку нельзя наблюдать, если она исходит изнутри горизонта.

Позвольте мне ответить на ваш подвопрос. Ранее в тексте Кэрролл утверждает, что наблюдатель со скоростью$U^{\mu}$измеряет энергию частицы вдоль геодезической, чтобы быть$E = -p_{\mu}U^{\mu}$. Мы можем вывести это соотношение, переключившись на локально плоские координаты с метрикой$\eta_{\mu\nu}$и предполагая неподвижного наблюдателя$U^{\mu} = (1,0,0,0)$. Здесь,$-p_{\mu}U^{\mu} = -\eta_{\mu \nu} p^{\mu}U^{\nu} = -\eta_{0 0} p^{0}U^{0}$. С использованием$E = p^{0}$и$\eta_{00} = -1$дает нам желаемый результат. Поскольку это тензорное уравнение, оно должно выполняться во всех системах координат. Теперь мы используем$p^{\nu} = \frac{dx^{\nu} (\lambda)}{d \lambda}$,$E = \hbar\omega = -g_{\mu\nu}U^{\mu} \frac{dx^{\nu} (\lambda)}{d \lambda}$и подключи$\hbar = 1$чтобы получить желаемый результат.