Имеют ли действие и лагранжиан одинаковые симметрии и сохраняющиеся величины?

Да, если использовать правильные понятия симметрии для действия и лагранжиана.

Установка.

Всюду предполагается, что действие можно записать в виде интеграла от локального лагранжиана. А именно, пусть$\mathcal C$— конфигурационное пространство системы, то для любого допустимого пути$q:[t_a, t_b]\to \mathcal C$, существует локальная функция$L$таких путей, что

Определена симметрия.

Мы говорим, что эта деформация является симметрией действия$S$если существует локальная функция путей$B_q$такой, что

Эквивалентность понятий симметрии.

Используя эти определения, можно показать, что данная деформация является симметрией$S$тогда и только тогда, когда это симметрия$L$.

Обратите внимание, что для любой деформации и любого допустимого пути$q:[t_a, t_b]\to \mathcal C$, надо

Я оставлю беседу вам.

Сначала немного терминологии:

1. В общем случае инфинитезимальное преобразование теории поля состоит из так называемого горизонтального инфинитезимального преобразования .

   $$\delta x^i ~=~x^{\prime i}- x^i$$ базового многообразия и так называемое вертикальное инфинитезимальное преобразование $$\delta_0\phi^{\alpha}(x)~=~\phi^{\prime \alpha}(x)-\phi^{\alpha}(x)$$ полей. Полное инфинитезимальное преобразование полей читается $$\delta\phi^{\alpha}(x)~=~\phi^{\prime \alpha}(x^{\prime})-\phi^{\alpha}(x).$$

2. Квазисимметрия локального действия$S=\int_V d^dx ~{\cal L}$означает, что бесконечно малое изменение$\delta S$является граничным членом при преобразовании квазисимметрии. Симметрия действия является частным случаем$\delta S=0$.

3. Квазисимметрия лагранжиана (плотность)${\cal L}$означает, что бесконечно малое изменение$\delta {\cal L}$является полной расходимостью при преобразовании квазисимметрии, ср. этот ответ Phys.SE. Симметрия лагранжиана (плотность) является частным случаем$\delta {\cal L}=0$.

Вертикальная квазисимметрия локального действия соответствует$^1$к вертикальной квазисимметрии лагранжиана (плотности). (Однако фактор Якоби от горизонтального преобразования может усложнить соответствие.)

Вертикальная симметрия действия не обязательно является вертикальной симметрией лагранжиана (плотности), но верно и обратное.

Теорему Нётер в более общем виде можно сформулировать в терминах действия, а не лагранжиана (плотности). Это также то, что первоначально сделала Нётер в своей статье 1918 года .

--

$^1$Нетрудно вывести, что вертикальная квазисимметрия лагранжиана (плотности) приводит к вертикальной квазисимметрии действия. Если мы знаем, что действие имеет вертикальную квазисимметрию для каждой области интегрирования$V$, мы также можем легко вывести другой способ локализации. Однако, если мы только знаем, что действие имеет вертикальную квазисимметрию для одной фиксированной области интегрирования$V$, могут быть возможные топологические препятствия в пространстве конфигураций поля, которые могут сделать недействительным тот факт, что лагранжиан (плотность) имеет вертикальную квазисимметрию. Технически последний опирается на алгебраическую лемму Пуанкаре о так называемом бивариационном комплексе, см., например, работу. 2.

Использованная литература:

1. Г. Барнич, Ф. Брандт и М. Хенно, Локальные БРСТ-когомологии в калибровочных теориях, Phys. Rep. 338 (2000) 439, arXiv:hep-th/0002245 .

Технический ответ такой$No$. Удивительно, но я думаю, что Википедия дает лучшее определение, хотя я думаю, что оба автора пытаются сказать одно и то же. Пусть действие определяется как

$S[\varphi]=\int d^4x\ \mathcal L(\varphi(x),\partial_\mu\varphi(x))$

Дифференцируемая симметрия — это симметрия функционала, которая не меняет действие

$S[\varphi']-S[\varphi]=0$.

Это дифференциальная симметрия, потому что, когда это выражение интерпретируется как действие на лагранжевую плотность$\mathcal L$это делается путем дифференцирования. Предполагая$\varphi'=\varphi+\delta\varphi$куда$\delta\varphi$является бесконечно малым изменением функции$\varphi(x)$мы получаем

$S[\varphi']-S[\varphi]=\int d^4x\ \left(\delta\varphi\frac{\partial}{\partial \varphi}\mathcal L+\partial_\mu\delta\varphi\frac{\partial}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\mathcal L\right)=0$

Чтобы получить теорему Нётер, надо интегрировать по частям, поэтому необходимо, чтобы интеграл входил в определение, и поэтому правильнее говорить о симметрии в терминах действия. Вот пример действия, не обладающего такой же симметрией лагранжиана, зависящего только от граничных условий интеграла:

$S_1=\int_0^\infty dr\int_0^{2\pi}rd\theta\ \mathcal L(\varphi,\partial_\mu\varphi)$

сферически симметричен, поэтому он сохраняет угловой момент по теореме Нётер, а

$S_2=\int_0^1dx\int_0^1dy\ \mathcal L(\varphi,\partial_\mu\varphi)$

не. Интеграл нарушает сферическую симметрию, которую в противном случае мог бы сохранить лагранжиан.

ОП, я новичок в stackexchange (но ветеран физики), поэтому мне пока не разрешено комментировать сам пост, но вы должны знать, что тот, который вы выбрали в качестве правильного ответа, действителен только для одномерных кривых, и даже там это действительно только для специального определения симметрии, которое допускает граничные условия (называемые «квазисимметриями», как указывает QMechanic). Я говорю это потому, что если вы изучаете что-то более общее, например, двумерные плоскости, КТП, теорию струн, этот результат не будет верен, и симметрии Лагранжа могут не совпадать с симметриями действия, потому что мера ( например$\int d^4x$) может нарушить симметрию$\mathcal L$.