Как применить теорему Нётер

1) В этом ответе мы предоставляем более подробную информацию о правильном ответе Давида Бар Моше. Действие гласит

$$\tag{1}S[q; t_i,t_f]~:=~\int_{t_i}^{t_f} \!dt~ L, \quad L~:=~T-V ,\quad T~:=~\frac{m}{2}\dot{q}^2,\quad V~:=~\frac{\alpha}{q^2}.$$

Нетрудно проверить, что действие имеет точную симметрию

$$\tag{2} S[q; t_i,t_f] \quad \longrightarrow \quad S[q^{\prime}; t^{\prime}_i,t^{\prime}_f] ~=~S[q; t_i,t_f]$$

при следующем масштабировании

$$\tag{3}t \quad \longrightarrow \quad t^{\prime}~=~\lambda^2 t, \qquad q(t) \quad \longrightarrow \quad q^{\prime}(t^{\prime})~=~\lambda q(t),$$

с неотрицательным параметром$\lambda\neq 0$, если мы также масштабируем начальный и конечный пределы интегрирования по времени так же, как параметр времени$t$:

$$\tag{4}t_i\quad \longrightarrow \quad t^{\prime}_i~=~\lambda^2 t_i, \qquad t_f\quad \longrightarrow \quad t^{\prime}_f~=~\lambda^2 t_f.$$

Интересно, что преобразование (3) не является симметрией лагранжиана

$$\tag{5}L(t) \quad \longrightarrow \quad L^{\prime}(t^{\prime})~=~\frac{L(t)}{\lambda^2},$$ как ОП уже отмечает в вопросе (v1). Это хорошая возможность напомнить, что теорема Нётер касается (квази)-симметрии действия, а не лагранжиана.

2) Далее рассмотрим соответствующее инфинитезимальное преобразование. Предположим, что$\lambda=1+\epsilon$, где$\epsilon$бесконечно мала, т. е. пренебрегать членами более высокого порядка в$\epsilon$. Так называемая горизонтальная бесконечно малая вариация.

$$\tag{6}\delta t ~:=~t^{\prime}-t ~=~ \epsilon \cdot 2t.$$

Бесконечно малая вариация динамической переменной$q$является

$$\tag{7} \delta q(t)~:= ~q^{\prime}(t^{\prime})-q(t)~=~\epsilon \cdot q(t),$$

поэтому вертикальная бесконечно малая вариация равна

$$\tag{8} \delta_0 q(t)~:= ~q^{\prime}(t)-q(t)~=~\epsilon \cdot(q(t)-2 t\dot{q}(t)).$$ Другими словами, преобразование (3) имеет горизонтальную образующую $2t$и вертикальный генератор $q-2 t\dot{q}$.

Чистый ток Нётер (= заряд)$Q$определяется как произведение импульса на вертикальный генератор плюс лагранжиан, умноженный на горизонтальный генератор:

$$\tag{9} Q~:=~ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\cdot(q-2 t\dot{q})+ L\cdot 2t ~=~mq\dot{q} -2t(T+V).$$

[Вообще, если инфинитезимальное преобразование$\delta S$действия инвариантно только до граничных членов, это называется квазисимметрией , и тогда полный нётеровский ток будет получать граничные вклады. Однако в нашем случае симметрия (3,4) на самом деле является точной (2), т. е. без каких-либо граничных членов, так что полный нётеровский ток — это просто чистый нётеровский ток (9).]

Легко проверить, что нётеровский заряд (9) сохраняется на оболочке

$$\tag{10}\frac{dQ}{dt} ~=~-(q-2 t\dot{q})\frac{\delta S}{\delta q}~\approx~0,$$

где$\approx$знак означает равенство по модулю уравнения движения

$$\tag{11} 0~\approx~ \frac{\delta S}{\delta q} ~=~\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} ~=~\frac{2\alpha}{q^3}-m\ddot{q},$$

т.е. на оболочке.

Симметрия необходима, чтобы оставить полное действие$A= \int L dt$инвариант. Как видно, действие инвариантно, потому что вы получаете недостающее$(1+\epsilon)^2$фактор от меры$dt$. Теперь вы можете применить теорему Нётер , чтобы найти сохраняющийся заряд, который в этом случае:

$Q = 2 E t - Px$

с$E = T+V = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{\alpha}{x^2}$, и$P = m \dot{x}$.

Нетрудно убедиться, что$\frac{dQ}{dt} = 0$когда уравнения движения выполняются.

Эта симметрия является конформной симметрией Галилея, она расширяет группу Галилея подобно тому, как обычная конформная группа расширяет группу Пуанкаре. См. следующие конспекты лекций : Раджеша Гопакумара (уравнение 2).