Преобразования на оболочке и вне оболочки в теореме Нётер

Question

Преобразования на оболочке и вне оболочки в теореме Нётер

ersbygre1

Для любого преобразования полей

ф \to ф^{'} "=" ф + дельта ф

$\varphi\to\varphi'=\varphi+\delta\varphi$ изменение лагранжиана можно записать как

\begin{matrix} (1) & дельта л "=" ЕОМ + \partial_{мю} {Дж}^{мю} \end{matrix}

$\delta\mathcal L = \text{EoM} + \partial_\mu j^\mu\tag{1}$ где «EoM» представляет собой уравнения движения (уравнения Эйлера-Лагранжа), а все остальные члены могут быть записаны как полная производная некоторой функции

j^{μ}

$j^\mu$ , которая является известной функцией с точки зрения лагранжиана.

Я хотел бы различать различные реализации преобразований. Предположим, что преобразование (1) оставляет действие инвариантным, $\delta S=0$ .

$\delta\mathcal L=0$
- ЕОМ $=0$ , "на оболочке": ток Нётера сохраняется, $\partial_\mu j^\mu=0$ .
- ЕОМ $=\partial_\mu b^\mu\neq0$ , «вне оболочки»: модифицированный ток Нётер $J^\mu = j^\mu+b^\mu$ сохраняется, $\partial_\mu J^\mu=0$ .
$\delta\mathcal L =\partial_\mu a^\mu \neq 0$ , "квазисимметрия"
- ЕОМ $=0$ , "в оболочке": модифицированный ток Нётера $J^\mu = j^\mu-a^\mu$ сохраняется, $\partial_\mu J^\mu=0$ .
- ЕОМ $=\partial_\mu b^\mu\neq0$ , «вне оболочки»: модифицированный ток Нётер $J^\mu = j^\mu-a^\mu+b^\mu$ сохраняется, $\partial_\mu J^\mu=0$ .

Это перечисление верно?

Какую роль играют термины «на/вне оболочки» и «(квази)симметрия» в теореме Нётер?

Связанные: раз , два , три , четыре , пять .

Джесс Ридель

См. также этот ответ , чтобы сориентироваться.

Ответы (1)

Преобразования на оболочке и вне оболочки в теореме Нётер

См. также этот ответ , чтобы сориентироваться.

Qмеханик · Answer 1

Предположение в (первой) теореме Нётер является внешним $^1$ квазисимметрия действия $S$ . Это приводит к тождеству Нётер вне оболочки тождество Нётер вне оболочки
$\begin{matrix} (А) & г_{мю} {Дж}^{мю} \equiv - \frac{дельта С}{дельта ф^{α}} Д_{0}^{α} . \end{matrix}$ $d_{\mu} J^{\mu} ~\equiv~ - \frac{\delta S}{\delta\phi^{\alpha}} \tag{A}Y_0^{\alpha}.$ Здесь $J^{\mu}$ – полный ток Нётер, который обязательно нетривиален; и $Y_0^{\alpha}$ является генератором (вертикальной) симметрии. Тождество вне оболочки (A), в свою очередь, подразумевает континуальное уравнение/закон сохранения на поверхности.
Квазисимметрия действия на оболочке $S$ является тавтологией. Он не имеет связанного уравнения континуума/закона сохранения. Даже строгая симметрия действия $S$ (или плотность Лагранжа ${\cal L}$ ) на оболочке не имеет связанного уравнения континуума/закона сохранения. $^2$
ОП рассматривает только так называемые вертикальные преобразования. $\delta\phi$ , т.е. $\delta x^{\mu}=0$ , несущий определенные упрощения в виде нётеровского тока.

--

$^1$ Слова «на оболочке» и «вне оболочки» относятся к тому, выполняются ли уравнения Эйлера-Лагранжа (EL) (=EOM) или нет.

$^2$ Вот еще один эвристический аргумент: игнорируя различные технические предположения и детали, морально говоря, существует биективное соответствие между квазисимметриями вне оболочки и законами сохранения на поверхности, ср. например, этот пост Phys.SE. В частности, все законы сохранения на оболочке уже объясняются только квазисимметриями вне оболочки. Другими словами, квазисимметрии на оболочке не могут играть самостоятельную роль в этом соответствии.

Если закон сохранения рассматривается на уровне оболочки, зачем начинать с преобразования вне оболочки? -- Если для общего преобразования $\delta\mathcal L=\text{EoM}+\partial_\mu j^\mu$ а теперь для конкретной вертикальной трансформации, $\delta\mathcal L=\partial_\mu\Lambda^\mu$ , мы вычитаем оба, чтобы получить $\text{EoM}+\partial_\mu(j^\mu-\Lambda^\mu)=0$ . Если мы предположим, что он находится в оболочке, это становится $\partial_\mu(j^\mu-\Lambda^\mu)=0$ и у нас есть закон сохранения.
Я понимаю, что для квазисимметрии «на оболочке» $\Lambda$ в моем предыдущем комментарии должно стать $j$ , поэтому закон сохранения является тривиальным уравнением. Однако, используя эту логику, я прихожу к выводу, что и впоследствии на моем последнем шаге $\Lambda\to j$ и уравнение становится тривиальным. Что мне не хватает?
Спасибо за обновление. Я думаю, что это вместе с другим ответом ( physics.stackexchange.com/a/438369/127780 ) и этой статьей ( arXiv:1510.07038 ) разрешило мою путаницу.

Преобразования на оболочке и вне оболочки в теореме Нётер

ersbygre1

Джесс Ридель

Ответы (1)

Qмеханик

ersbygre1

ersbygre1

Qмеханик

ersbygre1

Заряд Нётер для лагранжиана с производными высшего порядка

Как применить теорему Нётер

Преобразование имеет δL=0δL=0\delta \mathcal{L}=0, но δS≠0δS≠0\delta S \neq 0 и δS≠ϵ∫∂Ωd3xfδS≠ϵ∫∂Ωd3xf\delta S \neq \epsilon \int_{ \partial\Omega} d^3 xf

Какова роль классических уравнений движения в выводе нётеровского тока?

Теорема Нётер: форма бесконечно малого преобразования

Следует ли сохранение вронскиана из принципа Нётер?

Можно ли интуитивно понять теорему Нётер?

Имеют ли действие и лагранжиан одинаковые симметрии и сохраняющиеся величины?

Что означает параметр в теореме Нётер?

Имеет ли значение постоянный коэффициент в определении тока Нётер?