Какова роль классических уравнений движения в выводе нётеровского тока?

Я пытаюсь понять очень фундаментальное утверждение из книги «Теория поля конденсированной материи» А. Альтланда и Б. Саймонса:

Предположим, у нас есть преобразование:

$$x^\mu \to (x^{\prime})^{\mu} = x^\mu + f^\mu_a \omega^a(x)$$ и $$\phi^i(x)\to (\phi^{\prime})^i =\phi^i(x) + F^i_a \omega^a(x)$$

то мы можем вычислить разницу действий

$$\Delta S = \int_V d^m x^\prime \mathcal{L}(\phi^\prime(x^\prime),\partial_{x^\prime} \phi^\prime(x^\prime))-\int_V d^m x \mathcal{L}(\phi (x),\partial_x \phi (x))$$

где мы можем выразить все в терминах$x$с помощью формул преобразования и определителя Якоби. Все идет нормально. Теперь первое утверждение:

(1) «До сих пор мы не использовали тот факт, что преобразование фактически должно было быть преобразованием симметрии. По определению мы имеем дело с симметрией, если для постоянного параметра$\omega^a$(например, при равномерном вращении или глобальном перемещении и т. д.) разница в действиях исчезает».

Да, я понимаю.

(2) «Другими словами, главный вклад в разность действий должен быть линейным по производным$\partial_{x^\mu} \omega^a$"

В соответствии с этим ответом на вопрос Phys.SE об уловке для получения тока Нётера мы просто искусственно добавили$x$зависимость от параметра вариации. Тогда предположим, что у нас будет симметрия тогда

$$\Delta S \overset{!}{=} 0 = \int_V [...]_1 \omega^a + j^\mu_a \partial_\mu \omega ^a \overset{\omega^a \text{is constant}}{=} \omega^a \int_V [...]_1=0 \to [...]_1=\partial_\mu k^\mu_a$$

Это выражение для$[...]_1$мы можем заменить в формуле для$[...]_1$и интегрировать по частям один раз, чтобы получить$\Delta S = \int_V J^\mu_a \partial_\mu \omega^a$где предполагается, что вариация на границе$\partial V$исчезает и$J^\mu_a=j^\mu_a-k^\mu_a$. После разложения разности действия в производной$\omega$мы идентифицируем ток Нётер.

Теперь начинается сложная часть:

(3) «Для общей конфигурации поля мало что можно сказать о токе Нётер. Однако, если поле$\phi$подчиняется классическим уравнениям движения и теория симметрична, ток Нётер локально сохраняется,$\partial_\mu J^\mu_a=0$. Это следует из того, что для решения$\phi$уравнения Эйлера-Лагранжа линейное изменение любого параметра должно обращаться в нуль».

Верно ли, что они просто имеют в виду, что, интегрируя по частям, мы приходим к$\Delta S = -\int_V d^m x \partial_\mu J^\mu_a \omega_a$. Затем мы используем это$\phi$классически сохраняется, что означает, что любая линейная вариация равна нулю?

то есть$\partial_\mu J\mu_a =0$что является уравнением непрерывности.

Таким образом, единственная разница между условием симметрии и условием, что$\phi$подчиняется уравнению движения, заключается в том, что

• Преобразование симметрии$\to \Delta S \sim 0$по модулю граничных условий

• $\phi$подчиняется уравнению движения$\to \Delta S = 0$так как все линейные вариации равны нулю

Это верно?