Имеют ли планковское напряжение и планковский ток естественную физическую интерпретацию в классической общей теории относительности?

Question

Имеют ли планковское напряжение и планковский ток естественную физическую интерпретацию в классической общей теории относительности?

тпаркер

Большинство планковских единиц являются произведением степеней всех трех $\hbar$ , $c$ , и $G$ , поэтому мы не сможем полностью понять их физическое значение, пока у нас не будет полной теории квантовой гравитации. Но некоторые из них являются только степенями одной или двух из этих трех величин, и мы должны быть в состоянии понять эти единицы в более простом физическом режиме. Например, планковский заряд. $\sqrt{\hbar c}$ (согласно соглашениям Лоренца-Хевисайда) устанавливает естественный масштаб для констант связи релятивистской квантовой теории поля в нединамическом $(3+1)$ -мерное пространство-время (и действительно, при низких энергиях константы связи Стандартной модели находятся в пределах порядка или около того этой шкалы зарядов).

Другими примерами являются планковская сила. $c^4/G$ , мощность Планка $c^5/G$ , планковское напряжение $c^2/\sqrt{G}$ , а планковский ток $c^3/\sqrt{G}$ . Эти величины являются просто степенями $c$ и $G$ , поэтому они должны иметь интерпретацию в рамках полностью классической общей теории относительности. Действительно, как поясняется на странице Википедии, планковская сила задает масштаб гравитационного взаимодействия между любыми двумя шварцшильдовскими черными дырами (независимо от их массы), горизонты событий которых едва соприкасаются, а также задает масштаб эффективных гравитационных сил, создаваемых искривлением пространства-времени. по делу.

Физический смысл планковского напряжения и планковского тока в классической ОТО мне менее ясен. В каком смысле они задают естественные шкалы напряжения и тока в ОТО?

Две догадки, которые кажутся в том же духе, что и физическая интерпретация других планковских единиц, заключаются в том, что эффективный ток, циркулирующий вокруг экватора любой черной дыры Керра-Ньюмена, имеет порядок планковского тока и что напряжение - это максимально возможная разность напряжений до того, как самогравитация электростатической энергии заставит систему коллапсировать в черную дыру Рейссера-Нордстрема. (Но это в основном просто дикие догадки.)

Редактировать: чтобы уточнить, утверждение о том, что «планковское напряжение и ток не зависят от $\hbar$ "возможно, требует некоторой тонкости интерпретации, но это не важно для моего вопроса. Мне просто интересно, есть ли какой-либо смысл, в котором величины $c^2/\sqrt{G}$ и $c^3/\sqrt{G}$ установить естественные масштабы для напряжения и тока в чисто классической теории ЭМ+ОТО (без квантования заряда). Вам не нужно называть эти величины «планковским напряжением и током», если вы этого не хотите; это была просто мотивация.

безопасная сфера

«Эти величины являются просто степенями c и G, поэтому они должны иметь интерпретацию в рамках полностью классической общей теории относительности». Хотя это, безусловно, возможно (и даже вероятно, исходя из величин), в этом утверждении нет достаточной логики, чтобы гарантировать, что оно правда. Например, происхождение G неизвестно и может быть связано с квантовыми явлениями.

Рексирус

Интересно, связана ли интерпретация горизонта черной дыры как мембраны, удовлетворяющей закону Ома, с поверхностным сопротивлением ρ = 4π ≈ 377 Ом? Не уверен, так как, по-видимому, это нерелятивистский закон Ома. Интересный вопрос, однако.

Мозибур Улла

+1: для планковского заряда и напряжения - раньше я их не встречал.

тпаркер

@Rexcirus Это не удельное поверхностное сопротивление ЧД, а поверхностное сопротивление. И это может быть более релятивистским, чем вы подозреваете, потому что, если вы перестанете устанавливать

c = 1

$c = 1$ тогда это на самом деле

R = 4 π / c = 377 Ω

$R = 4 \pi / c = 377\, \Omega$ :-). Как предполагает отсутствие

G

$G$ , это значение на самом деле представляет собой импеданс свободного пространства в плоском пространстве-времени и не относится к черным дырам.

Ответы (3)

Имеют ли планковское напряжение и планковский ток естественную физическую интерпретацию в классической общей теории относительности?

«Эти величины являются просто степенями c и G, поэтому они должны иметь интерпретацию в рамках полностью классической общей теории относительности». Хотя это, безусловно, возможно (и даже вероятно, исходя из величин), в этом утверждении нет достаточной логики, чтобы гарантировать, что оно правда. Например, происхождение G неизвестно и может быть связано с квантовыми явлениями.
Интересно, связана ли интерпретация горизонта черной дыры как мембраны, удовлетворяющей закону Ома, с поверхностным сопротивлением ρ = 4π ≈ 377 Ом? Не уверен, так как, по-видимому, это нерелятивистский закон Ома. Интересный вопрос, однако.
+1: для планковского заряда и напряжения - раньше я их не встречал.
@Rexcirus Это не удельное поверхностное сопротивление ЧД, а поверхностное сопротивление. И это может быть более релятивистским, чем вы подозреваете, потому что, если вы перестанете устанавливать $c = 1$ тогда это на самом деле $R = 4 \pi / c = 377\, \Omega$ :-). Как предполагает отсутствие $G$ , это значение на самом деле представляет собой импеданс свободного пространства в плоском пространстве-времени и не относится к черным дырам.

Торондор · Answer 1

Чтобы избежать проблем, поднятых в ответе Эндрю, давайте работать в единицах СИ. Тогда планковское напряжение равно

\frac{с^{2}}{\sqrt{4 π ε_{0} г}} \approx 1,04 \times 10^{27} В

$\frac{c^2}{\sqrt{4\pi \varepsilon_0 G}} \approx 1.04 \times 10^{27} \text{ V}$

а планковский ток

\frac{с^{3}}{\sqrt{г / 4 π ε_{0}}} \approx 3,48 \times 10^{25} А

$\frac{c^3}{\sqrt{G/4\pi \varepsilon_0}} \approx 3.48 \times 10^{25} \text{ A}$

Планковское напряжение

Каково максимальное напряжение, которого теоретически можно достичь в классической вселенной ЭМ+ОТО? Рассмотрим сферически симметричный заряженный объект с зарядом $Q$ , масса $M$ и радиус $R$ . (Конечно, объекты не обязательно должны быть сферически симметричными, но результат сферически симметричного случая должен быть в пределах небольшого постоянного множителя истинного предела.) Напряжение на его поверхности равно

В "=" \frac{Вопрос}{4 π ε_{0} р}

$V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}$

Попробуем увеличить напряжение за счет уменьшения радиуса объекта. Если мы сделаем это, объект в конечном итоге превратится в черную дыру. Это происходит на радиусе Шварцшильда

р_{с} "=" \frac{2 г М}{с^{2}}

$R_s = \frac{2GM}{c^2}$

когда напряжение

В "=" \frac{Вопрос с^{2}}{4 π ε_{0} \cdot 2 г М}

$V = \frac{Qc^2}{4\pi\varepsilon_0 \cdot 2GM}$

Теперь мы можем еще больше увеличить напряжение, увеличив заряд $Q$ . Согласно метрике Рейснера-Нордстрема, заряженная черная дыра имеет два горизонта событий: (внешний) истинный горизонт событий и (внутренний) горизонт Коши. Радиусы этих горизонтов задаются корнями квадратного уравнения. По мере увеличения заряда черной дыры горизонты сближаются все ближе и ближе друг к другу, пока их радиусы не сравняются. Это происходит, когда

\begin{aligned} \sqrt{\frac{{Вопрос}^{2} г}{4 π ε_{0} с^{4}}} "=" р_{Вопрос} & \geq \frac{1}{2} р_{С} "=" \frac{г М}{с^{2}} \\ \Rightarrow \frac{Вопрос}{М} & \geq \sqrt{4 π ε_{0} г} \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt{\frac{Q^2G}{4\pi\varepsilon_0 c^4}} = R_Q &\geq \frac12 R_S = \frac{GM}{c^2} \\ \Rightarrow \frac{Q}{M} &\geq \sqrt{4\pi\varepsilon_0 G} \end{align}$

За пределами этой точки решения квадратного уравнения становятся мнимыми, указывая на то, что горизонта событий нет, а сингулярность черной дыры стала обнаженной. Если предположить, что физически не имеет смысла, то напряжение достигло предела

В "=" \frac{с^{2} \sqrt{4 π ε_{0} г}}{8 π ε_{0} г} "=" \frac{с^{2}}{2 \sqrt{4 π ε_{0} г}}

$V = \frac{c^2\sqrt{4\pi\varepsilon_0 G}}{8\pi\varepsilon_0 G} = \frac{c^2}{2\sqrt{4\pi \varepsilon_0 G}}$

что составляет половину планковского напряжения.

Вы можете предположить, что этот предел можно обойти, не позволив объекту схлопнуться в черную дыру. Однако это тоже не работает: даже если масса покоя остается низкой, если мы увеличим $Q/R$ слишком много, у нас все еще слишком много электростатической потенциальной энергии, сконцентрированной в маленьком пространстве. Вновь образуется черная дыра.

Планковское течение

В теории относительности ток является относительной величиной: он изменяется от одной системы отсчета к другой. Поэтому вместо провода с током рассмотрим планковский ток, рассмотрев траекторию свободного падения, приближающуюся к экстремальной черной дыре с последнего участка. Как и прежде, заряд черной дыры ограничен

\frac{Вопрос}{М} "=" \sqrt{4 π ε_{0} г}

$\frac{Q}{M} = \sqrt{4\pi\varepsilon_0 G}$

С помощью размерного анализа, когда мы приближаемся к горизонту событий черной дыры и увеличиваем нашу скорость до скорости света, мы ожидаем наблюдать увеличение тока примерно до

Вопрос (\frac{с}{р_{с}}) "=" \frac{М с \sqrt{4 π ε_{0} г}}{2 г М / с^{2}} "=" \frac{с^{3} \sqrt{4 π ε_{0}}}{2 \sqrt{г}}

$Q \left(\frac{c}{R_s}\right) = \frac{Mc\sqrt{4\pi\varepsilon_0 G}}{2GM/c^2} = \frac{c^3\sqrt{4\pi\varepsilon_0}}{2 \sqrt{G}}$

который представляет собой планковский ток (с точностью до 2 раз). Однако этот результат не подразумевает каких-либо четких физических ограничений, поскольку, в отличие от напряжения, ток может распространяться на большие области пространства.

Андрей · Answer 2

Я не думаю, что на этот вопрос действительно есть уникальный ответ, но я считаю, что предпосылка вопроса немного запутана из-за использования единиц Хевисайда.

На самом деле я счел бы более естественным ввести постоянную тонкой структуры

α "=" \frac{е^{2}}{4 π ϵ_{0} ℏ с}

$\begin{equation} \alpha = \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 \hbar c} \end{equation}$ Тогда "планковский заряд" - это просто стандартная базовая единица заряда.

е "=" \sqrt{4 π ϵ_{0} ℏ с α}

$\begin{equation} e = \sqrt{4\pi \epsilon_0 \hbar c \alpha} \end{equation}$ А планковское напряжение (планковская энергия на планковский заряд) равно

В_{п л} "=" \frac{Е_{п л}}{е} "=" \sqrt{\frac{ℏ с^{5}}{4 π ϵ_{0} α ℏ с г}} "=" \sqrt{\frac{с^{4}}{4 π ϵ_{0} α г}}

$\begin{equation} V_{\rm Pl} = \frac{E_{\rm pl}}{e} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{4 \pi \epsilon_0 \alpha \hbar c G}} = \sqrt{\frac{c^4}{4\pi \epsilon_0 \alpha G}} \end{equation}$ Или в единицах, где

4 π ϵ_{0} = 1

$4\pi\epsilon_0=1$ ,

В_{п л} "=" \sqrt{\frac{с^{4}}{α г}} "=" \sqrt{\frac{ℏ с^{5}}{е^{2} г}}

$\begin{equation} V_{\rm Pl} = \sqrt{\frac{c^4}{\alpha G}} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{e^2 G }} \end{equation}$ Для меня это более естественно, поскольку в этом уравнении явно фигурирует электромагнитный параметр.

В этой форме может быть более ясно, что наличие или отсутствие $\hbar$ в этом выражении зависит от того, думаете ли вы о $\alpha$ или $e$ как более фундаментальное. Прямая классическая логика говорит, что электрический заряд $e$ является базовой величиной. У меня есть два основных аргумента: (1) заряд — это то, что можно измерить классическим способом, и (2) нет смысла использовать $\alpha$ в электродинамике, если вы не занимаетесь квантовой теорией поля.

Тот факт, что естественная интерпретация параметра в классической и квантовой теории в (2) различна, на самом деле довольно распространенная ситуация. Например, мы обычно записываем массовый член лагранжиана скалярной теории поля как $\frac{1}{2} m^2\phi^2$ , но это только потому, что мы установили $\hbar=c=1$ . По размерности параметр $m^2$ действительно является квадратом частоты, и если вы восстановите $\hbar$ и $c$ этот термин действительно $\frac{1}{2} \omega^2 \phi^2 = \frac{1}{2} \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}\phi^2$ . В классическом понимании этот термин вообще нельзя рассматривать как массу; интерпретация исходит из квантования скалярного поля и отождествления квантов с частицами. Точно так же классический естественный способ записать ковариантную производную заряженного скаляра таков: $D_\mu \Phi = (\partial_\mu - i e A_\mu) \Phi$ , где $e$ это заряд. Удобно только представить $\alpha$ когда мы начинаем вычислять диаграммы Фейнмана или другие квантовые эффекты. Действительно, Википедия дает несколько интерпретаций $\alpha$ , которые все связаны с некоторым квантовым эффектом, например: «Отношение скорости электрона на первой круговой орбите боровской модели атома, которое равно $\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar}$ , до скорости света в вакууме, $c$ ."

Во всяком случае, если вы принимаете это $e$ более естественный выбор, чем $\alpha$ , то планковское напряжение зависит от $\hbar$ .

Незначительное замечание и главное замечание в ответ. Незначительный момент заключается в том, что, хотя вы правы в том, что элементарный заряд, безусловно, устанавливает важную шкалу заряда, я совершенно не согласен с тем, что это естественный выбор «планковского заряда». Весь смысл планковских единиц в том, что они характеризуют структуру пространства-времени и самые фундаментальные законы физики, а не какие-то случайные параметры Стандартной модели, такие как константы связи между полями. В заявлении о том, что $e/\hbar c = \sqrt{\alpha}$ намного меньше 1; это говорит нам о том, что КЭД является слабо связанным
теория. Напротив, значение $\sqrt{\hbar c}$ не имеет фундаментального физического интереса, и это, очевидно, естественная единица для нормализации до 1. (Было бы возможно, но менее удобно или концептуально ясно, выполнять КЭД в единицах, где $\alpha = 1$ . Более того, планковский заряд задает шкалу естественных зарядов в КТП для всех калибровочных взаимодействий, включая сильные и слабые взаимодействия, а не только для ЭМ. Кажется очень произвольным обозначать EM как задающую планковскую шкалу, тем более что значение $\alpha$ не является даже фундаментальным параметром в СМ, но может быть выражен через более
фундаментальные константы электрослабой связи.
@tparker Ну, две вещи. (а) Насколько нам известно, заряд электрона является масштабом фундаментального заряда в природе. Но ладно, если вы хотите определить «планковскую» шкалу базового заряда, которая не является зарядом частицы. это нормально. (б) Вы могли бы повторить мой аргумент с $e$ заменен на $e_{\rm Pl}$ . Ключевым шагом будет то, скажете ли вы $e_{\rm Pl}$ является фиксированной величиной, или если она масштабируется с $\hbar$ . Если вы скажете $e_{\rm Pl}$ весы с $\hbar$ , то на самом деле это не имеет классического значения, поэтому я бы назвал любые величины, основанные на $e_{\rm Pl}$ как напряжение также не имеют классического значения.
Также это побочный момент, но я не понимаю, как можно «выбирать единицы», где безразмерная величина $\alpha$ равно $1$ .
(а) В некоторой степени это зависит от того, что вы подразумеваете под «фундаментальным», но почти все физики элементарных частиц считают $\alpha$ быть полученной величиной из более фундаментальных параметров: preposterousuniverse.com/blog/2018/09/25/… . (Примечание: какое отношение все это имеет к использованию единиц Хевисайда, как вы упомянули? Это просто меняет $4 \pi \epsilon_0$ с, а не $\hbar$ s, которые являются ключевыми для вопроса.)
@tparker Честно говоря, я не очень заинтересован в долгой и затяжной дискуссии о семантике, так что это будет мое последнее слово; конечно, вам не нужно принимать мой ответ. Говоря, что «эта константа не зависит от $\hbar$ означает, что она не является квантовой», слишком наивно, вы должны учитывать контекст, в котором вы работаете. Если ваша теория включает в себя «квантово-механический заряд» в зависимости от $\hbar$ , то интерпретация всех электромагнитных величин, основанная на этом заряде, по сути является квантово-механической, даже если $\hbar$ не появляется.
Я интерпретировал ваше предложение о том, что вы «выбираете планковский заряд», как $e$ означает, что вы переформулируете свой формализм QFT, чтобы не иметь явного фактора $e$ , что требует не одновременной установки $\hbar$ и $c$ равно 1. Но я думаю, вы имели в виду не это.
Хорошо, но на самом деле все это было, как вы говорите, второстепенным в сторону семантики. Моя главная мысль заключается в том, что я с уважением считаю, что вы в корне неправильно поняли весь смысл моего вопроса. Если вы предполагаете, что заряд вообще квантуется, то вы уже косвенно работаете с некоторой квантовой механикой. Но я хочу сказать, что вы можете представить себе логически непротиворечивую чисто классическую вселенную, в которой заряд не квантуется, описываемую исключительно классической ОТО. В такой вселенной были бы естественные масштабы напряжения и тока, установленные исключительно $G$ и $c$ . Что было бы
физическая интерпретация этих весов? Это то, что я действительно спрашивал, поэтому вопрос о том, как выбран элементарный заряд для масштабирования с $\hbar$ не имеет значения.
@tparker Я не думаю, что это не имеет значения. $c^2/\sqrt{G}$ это не напряжение (энергия на единицу заряда) в единицах СИ. Он имеет единицы В этом контексте это только напряжение, потому что мы решили измерить заряд как безразмерное число, умноженное на некоторую базовую шкалу заряда. $e_{\rm Pl}$ . Теперь, чтобы задать вопросы о $\hbar$ зависимость, мы должны решить, как различные величины масштабируются с $\hbar$ . Если мы думаем о шкале базового заряда как о фундаментальном параметре (что, как я утверждаю, естественно с классической точки зрения), то планковская энергия на заряд зависит от $\hbar$ . Если базовая шкала заряда меняется с $\hbar$ , затем...
...Энергия на заряд оказывается не зависящей от $\hbar$ . Но я говорю, что вы не можете заключить, что эта величина имеет чисто классический смысл, потому что она была получена в контексте, где определение заряда по своей сути является квантово-механическим.
Это верное замечание, но оно все еще не имеет отношения к тому, о чем я спрашивал. Чтобы избежать мира «Планка», определите «напряжение Эйнштейна» как $c^2/\sqrt{4 \pi \epsilon_0 G}$ (который действительно имеет единицы измерения напряжения в ваших предпочтительных единицах СИ). Я думаю, мы все можем согласиться с тем, что напряжение Эйнштейна не содержит никаких факторов. $\hbar$ . Более того, он как бы задает естественную шкалу напряжений для теории классической ЭМ (с непрерывным распределением заряда) и классической ОТО . Какова физическая интерпретация этой шкалы напряжений?
Так же и с током. Никаких элементарных зарядов нигде не видно; мы не предполагаем, что заряд квантуется, но моделируется классической непрерывной жидкостью.
@tparker Я не понимаю, почему вы мотивировали свой вопрос обсуждением заряда Планка, если это был ваш вопрос. Я также думаю, что довольно снисходительно включать ссылку на статью в Википедии о теории Эйнштейна-Максвелла. Во всяком случае, что угодно. Я посмотрел метрику Рейсснера-Нордстрема, и комбинация $c^2/\sqrt{4\pi \epsilon_0 G}$ появляется. Вы можете сказать, что это электрический потенциал $Q/(4\pi\epsilon_0 r_Q)$ черной дыры на радиусе заряда $r_Q$ . В качестве альтернативы вы могли бы сказать, что это удвоенный потенциал на радиусе Шварцшильда чрезвычайно заряженной ЧД.
Я предполагаю, что текущая шкала увеличилась бы, если бы вы посмотрели на магнитное поле усиленной экстремально заряженной черной дыры вблизи радиуса Шварцшильда или посмотрели на магнитное поле усиленных экстремально заряженных струн вблизи их горизонтов в более высоких измерениях.

JRL · Answer 3

JRL

Нужно быть очень осторожным, приписывая какой-либо фундаментальный физический смысл любому из планковских значений. Все они основаны на произвольных решениях относительно того, какая из физических констант содержит значение единицы. Хотя планковские значения могут быть полезны, они не представляют собой фундаментальные ценности природы в том смысле, что их можно определить разными способами.

Дж. Г.

Этот отказ от ответственности, с

c = ℏ = G = 4 π ε_{0} = 1

$c=\hbar=G=4\pi\varepsilon_0=1$ планковское напряжение равно

\frac{c^{2}}{\sqrt{4 π ε_{0} G}} \approx 1.0429 \times 10^{27} V

$\frac{c^2}{\sqrt{4\pi\varepsilon_0G}}\approx1.0429\times10^{27}\operatorname{V}$ , а планковский ток

c^{3} \sqrt{\frac{4 π ε_{0}}{G}} \approx 3.4789 \times 10^{25} A

$c^3\sqrt{\frac{4\pi\varepsilon_0}{G}}\approx3.4789\times{10}^{25}A$ . На самом деле вопрос заключается в том, действительно ли эти, по модулю степени

4 π

$4\pi$ д., являются значительными.

JRL

Тем не менее, c=ℏ=G=1 — не более чем удобный способ сравнения универсальных констант. Для установления этого равенства нет абсолютно никакой физической причины. Хотя, по-видимому, некоторым не нравится мой ответ о том, что нужно быть осторожным, придавая слишком большое значение планковским значениям, это, тем не менее, правильное утверждение. Планковские значения могут быть полезны, но нужно быть очень осторожным, придавая им физический смысл.

Дж. Г.

Вы упускаете суть. Да, наши определения планковских напряжений и токов можно скорректировать с помощью небольших мультипликативных констант. Но вопрос в том, имеет ли что-либо в этом наборе вариантов физическое значение. Учитывая, как часто ответ да (например, предел Чандрасекара для

L = 0

$L=0$ белые карлики это

N^{2} m_{Pl}^{3}

$N^2m_\text{Pl}^3$ ), на этот вопрос стоит ответить либо «нет», либо «да, с этим конкретным определением» (в зависимости от того, что на самом деле верно), а не «существует несколько значений, вопрос недействителен».

JRL

@JG Точка хорошо принята. И да, планковские значения могут быть полезны, с чем я полностью согласен. Возможно, мне нужно быть более конкретным и заявить, что нужно быть осторожным, чтобы не придавать значениям Планка какого-либо фундаментального физического смысла.

Дж. Г.

Это лучший момент, о котором знает ОП.

Имеют ли планковское напряжение и планковский ток естественную физическую интерпретацию в классической общей теории относительности?

тпаркер

безопасная сфера

Рексирус

Мозибур Улла

тпаркер

Ответы (3)

Торондор

Планковское напряжение

Планковское течение

Андрей

тпаркер

тпаркер

тпаркер

Андрей

Андрей

тпаркер

Андрей

тпаркер

тпаркер

тпаркер

Андрей

Андрей

тпаркер

тпаркер

Андрей

Андрей

JRL

Дж. Г.

JRL

Дж. Г.

JRL

Дж. Г.