Импульс частицы в ящике

Возьмем единичную коробку, собственные функции энергии равны грех ⁡ ( н π Икс ) (без учета константы нормализации) внутри коробки и 0 снаружи. Я читал, что для частицы в ящике нет оператора импульса, так как ℏ я г г Икс грех ⁡ ( н π Икс ) "=" ℏ я н π потому что ⁡ ( н π Икс ) и это не 0 в конечных точках. Тем не менее, мы можем написать грех ⁡ ( н π Икс ) "=" е я н π Икс − е − я н π Икс 2 я , что, кажется, подразумевает, что есть два возможных значения импульса: н π и − н π , каждый с вероятностью 50%. Это неправильно? Если вы измерите один из этих импульсов и волновая функция схлопнется до одного из собственных состояний, то это не решит граничные условия. Итак, какие значения импульса вы могли бы получить, если бы измерили импульс частицы в ящике?

Редактировать: я знаю, что вы не можете точно измерить импульс частицы, но обычно после измерения импульса или такой непрерывной наблюдаемой волновая функция коллапсирует до непрерывной суперпозиции собственных состояний импульса, соответствующей точности вашего измерения. Но в этом случае, поскольку волновая функция кажется просто суперпозицией двух собственных импульсных состояний, волновая функция должна коллапсировать точно к одному из них, или так кажется.

Ответы (3)

Есть две разные проблемы. Один из них — знак импульса; другой - распространяется ли импульс (это не из-за неестественных граничных условий).

Что касается первого пункта, стоячая волна (синус) является реальной функцией, и каждая реальная волновая функция имеет одинаковую вероятность нести импульс. + п и − п . Так что, действительно, оба они равновероятны.

Но даже если вы запишете синус как разность двух комплексных экспонент, все равно верно, что эти экспоненты не равны волновой функции везде — только внутри коробки — так что все равно неверно, что импульс резко ограничен двумя значениями. п и − п .

Чтобы получить вероятности разных импульсов, нужно преобразовать Фурье стоячую волну — несколько волн синусоиды. Надо

∫ 0 1 г Икс грех ⁡ ( н π Икс ) опыт ⁡ ( я п Икс ) "=" н π [ − 1 + е я п ( − 1 ) н ] п 2 − н 2 π 2
Возведите в квадрат абсолютное значение, чтобы получить плотность вероятности того, что импульс п . Импульс п должны иметь естественные префакторы ℏ / л и т. д., и общая волновая функция должна получить еще один нормировочный коэффициент, чтобы общая вероятность равнялась единице. Это ничего не меняет в форме распределения вероятностей: почти все значения п имеют ненулевую вероятность.

Однако это имеет смысл, если правая сторона ψ ( п ) , то я должен быть в состоянии написать ψ ( Икс ) "=" ∫ − ∞ ∞ г п ψ ( п ) е − я п Икс , но это, похоже, не так, что вызывает у меня подозрения.
Это так! Путем обратного преобразования Фурье, включая правый 1 / 2 π и т.д. конечно, получится исходная функция - синус на интервале и ноль вне интервала. Нетрудно видеть, что это правдоподобный результат даже без расчетов. знаменатель п 2 − к 2 означает, что если вы воздействуете на волновую функцию п 2 − к 2 , вы получите что-то проще. Это − ∇ 2 − к 2 в позиции rep, и действительно, этот оператор аннулирует функцию почти везде, кроме тех границ, где он создает дельта-функции.
Хорошо, только кажется, что после измерения импульса волновая функция схлопывается до ∫ − ϵ ϵ г п ψ ( п ) е − я п Икс или что-то еще, это не решит граничные условия, что кажется проблематичным? Одним из оправданий, которые я видел в Интернете для утверждения, что существуют только дискретные значения импульса, является длина волны де Бройля, причем длина волны соответствует аргументу грех . Это заставляет меня задаться вопросом, действительно ли длина волны де Бройля хороша для всего, кроме случаев, когда вы знаете, что частица находится примерно в собственном состоянии импульса.
Одна вещь, которую я заметил, заключается в том, что «длина волны де Бройля» даже не является возможной длиной волны, что достаточно интересно (по крайней мере, для n = 1).
Меня озадачивает, что в этом ответе вы не учитываете граничные условия для оператора импульса и тем самым квантуете его собственные значения.
Извини, Алехандро, оператор импульса на бесконечной прямой всегда − я ℏ ∇ независимо от величины потенциала В ( Икс ) и никогда не бывает никаких дополнительных «граничных условий». Именно поэтому спектр п всегда непрерывна, если никакие значения Икс отождествляются друг с другом. Вы можете путать импульс п с энергией Е . Последний квантуется в боксе, но Е ≠ п 2 / 2 м . Вместо, Е "=" п 2 / 2 м + В где В бесконечен вне коробки, поэтому нет противоречия между непрерывностью п и дискретность Е .

Я думаю, что это отличный вопрос. http://arxiv.org/abs/quant-ph/0103153 В этой статье объясняется, почему мы не должны навязывать граничные условия, которые мы делаем (волновая функция стремится к 0 на границах), а вместо этого должны использовать условие, что волновая функция равны на обоих концах. Это оправдано отчасти по математическим причинам, но отчасти потому, что это условие слишком сильно физически; волновая функция неизмерима. С другой стороны, вероятность найти частицу между a и b измерима. Мы просто хотим убедиться, что если a=0 и b приближается к 0, вероятность постоянно приближается к 0. Это достижимо, даже если волновая функция является прерывистой.

Как только мы применяем более слабое условие, некоторые функции, которые являются экспоненциальными внутри ящика и нулевыми снаружи, становятся разрешенными (с теми же длинами волн, что и собственные состояния энергии), и они фактически являются собственными значениями импульса. Как вы и сказали, если вы измерите импульс, частица перейдет в одно из этих состояний.

Согласен с релевантностью статьи к вопросу, но не с выводом.
Это превосходная статья, которую необходимо прочитать, чтобы правильно осветить проблемы бесконечной ямы, слишком часто мимолетно просматриваемые в качественных введениях в квантование энергии.

Я хотел бы уточнить ответ @Lubos Motl.

Предположение, что волновая функция должна стремиться к нулю, моделируется как синусоидальная функция. Это сложно, потому что, как сказано выше, используемая волновая функция не стремится к 0 везде вне коробки. Это тонкость, которая никогда не обсуждается в курсах, потому что она открывает ящик Пандоры относительно того, насколько правильно это приближение (которое является адекватной моделью для выполнения вычислений, см. http://arxiv.org/abs/0704.1820 ). Одно возможное, но громоздкое решение, как видно из интеграла Фурье в посте выше, состояло бы в том, чтобы иметь волновую функцию в виде

ψ "=" θ ( Икс ) θ ( 1 − Икс ) грех ⁡ ( н π Икс ) ,
где θ ( Икс ) — ступенчатая функция Хевисайда. Это эффективно отрезает волновую функцию от существования за границей.

Кроме того, импульс в данном случае не является «хорошим» квантовым числом. Это означает, что поскольку у вас нет периодической бесконечной системы, волновая функция не может принимать любое значение импульса. н π являются гармониками, которые эта модель допускает из-за границ. Это всего лишь модель, которая может не отображать точные результаты в описанных системах.

Не могли бы вы пояснить, почему это нехорошее квантовое число? Из приведенного выше ответа кажется, что частица может принимать любое (или почти любое) значение импульса.
Импульс частицы в ящике
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v