Как коллапсирует волновая функция, когда я измеряю положение?

1. Нет, он не коллапсирует в собственное состояние. Коллапс в собственное состояние — это картина идеального измерения. В общем, конечное состояние не может быть описано волновой функцией, потому что это не чистое состояние , а смешанное состояние . См. этот вопрос о неточных измерениях.

2. Собственное состояние позиции в представлении позиции равно$\langle x_{}|x_0\rangle=\delta(x-x_0)$. Это дает следующее в импульсном представлении:$\langle p_{}|x_0\rangle=e^{\frac{i}{\hbar}px}$. Для этой функции плотность вероятности постоянна, поэтому ее математическое ожидание неопределенно (невозможно найти центр бесконечной прямой). Точно так же для свободной частицы среднее значение энергии также будет неопределенным. Это потому, что такое состояние является абстракцией, полезным математическим инструментом. Конечно, такие состояния нельзя приготовить в реальном эксперименте, но можно очень близко к этому подойти, например выстрелить электроном в крошечную щель и наблюдать состояние электрона на самом выходе из этой щели.

Что касается нахождения среднего значения энергии в собственном состоянии положения, первая ошибка, которую вы делаете, используя формулу$\overline E=\langle x|\hat H|x\rangle$забывает нормализовать собственный вектор. Но оператор положения имеет непрерывный спектр, что делает все его собственные векторы ненормируемыми (т.е. если вы попытаетесь их нормализовать, вы получите нулевой вектор, который бессмысленен как состояние). Таким образом, вы не можете напрямую найти математическое ожидание энергии в собственном состоянии позиции.

Волновая функция «уменьшается», что означает уменьшение размера непрерывного диапазона состояний (позиций), которые имеют ненулевую вероятность. Однако оно никогда не становится единственным собственным состоянием из-за квантовой неопределенности зонда, используемого при измерении, или самого измерительного прибора. Эта неопределенность никогда не может быть равна нулю.

Измерения положения относятся к неудачной породе, которая не уточняется при последовательных измерениях из-за обратного действия измерения положения на импульс, который, в свою очередь, влияет на только что измеренное положение. То есть измерение положения сносит только что измеренное положение. С другой стороны, измерения импульса могут быть неразрушающими , так что последовательные измерения еще больше уменьшают размер диапазона состояний импульса с ненулевой вероятностью.

Это связано с природой квантовой механики.

В классическом режиме наименьшая возможная энергия равна нулю. Но в КМ самое низкое состояние (основное состояние) все еще имеет энергию. Квантовая природа — это волновая природа. В CM вы можете точно определить местоположение объекта, но в QM это распределение (плотность вероятности). Что вы можете сделать, так это найти наименьшее распределение, а не конкретную точку объекта.

Что касается вашего вопроса, это связано с волновой природой: принцип неопределенности говорит, что$\Delta x \: \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$. Поэтому, когда вы пытаетесь измерить местоположение,$\Delta x$(отклонение в положении) становится равным нулю, и для удовлетворения этого соотношения ваш$\Delta p$должен быть очень большим (как дельта-функция). Поэтому, как только вы проводите измерение, вы просто разрушаете волновую функцию. После того, как вы делаете точное измерение чего-то в КМ, вы просто разрушаете это «что-то» и ничего не можете сказать об этом, например, о его энергии.

1. Нет. Оператор положения не имеет нормируемых собственных функций ($\delta(x-x_0)$не нормализуется). Самое близкое, что можно сделать в этом формализме, — это свести волновую функцию к некоторому острому пику с ненулевой шириной и конечной высотой, исходя из точности измерения.

2. В непрерывном пространстве частица не может находиться в «собственном состоянии положения», потому что там этого нет. На дискретном множестве допустимых позиций это было бы возможно, но вся физика и формализм были бы совсем другими.