Измерение коллапса волновой функции

Этот ответ зависит от временной шкалы вашей системы. Часто проблему можно перефразировать следующим образом. Если начать с состояния a$\vert\psi_0(0)\rangle$, развивающийся под действием гамильтониана$\hat H$так что$U(t)$является результирующей эволюцией, можно спросить, за какое малое время$\Delta t$будет вероятность нахождения системы в$\vert\psi_0(0)\rangle$быть больше, чем$1-\epsilon$, где$\epsilon$предполагается малым и будет зависеть от$\Delta t$. Другими словами, спрашиваешь, для чего$\Delta t$является

$$\vert \langle \psi_0(\Delta t)\vert \psi_0(0)\rangle \vert^2<1-\epsilon. \tag{1}$$ с $\vert\psi_0(t)\rangle =U(t)\vert\psi_0(0)\rangle$.

Это определяет «быстро» в том смысле, что если вы повторно измерите в пределах временного интервала$\Delta t$, есть только небольшая вероятность$\epsilon$что ваша система развилась из вашего начального состояния. Учитывая вашу терпимость$\epsilon$вы можете найти подходящий$\Delta t$оставаться в пределах этого допуска.

Предполагая$\hat H$не зависит явно от$t$для простоты,$U(t)=e^{-i\hat H t/\hbar}$и для малых времен обычно можно написать

$$\begin{align} \vert\psi_0(\Delta t)\rangle &\approx \left(\hat 1-i\frac{\Delta t}{\hbar} \hat H -\frac{(\Delta t)^2}{2\hbar^2}\hat H^2 \right) \vert\psi_0(0)\rangle\\ \langle \psi_0(0)\vert\psi_0(\Delta t)\rangle&= 1 -i\frac{\Delta t}{\hbar} \langle \psi_0(0)\vert \hat H\vert \psi_0(0)\rangle -\frac{(\Delta t)^2}{2\hbar^2} \langle\psi_0(0)\vert H^2\vert\psi_0(0)\rangle \end{align}$$ откуда можно завершить расчет $$\vert \langle \psi_0(0)\vert\psi_0(\Delta t)\rangle \vert^2\le 1-\epsilon$$ и найти $\epsilon$с точки зрения $\Delta t$и матричные элементы $\hat H$.

Так, например (используя$\hbar=1$), допустим, мы берем

$$\hat H=\sigma_x+\sigma_z=\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{array} \right)$$ и предположим $\vert\psi_0(0)\rangle=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)$. Затем $$U(\Delta t)= \left( \begin{array}{cc} \cos \left(\sqrt{2} \Delta t\right) -\frac{i \sin \left(\sqrt{2} \Delta t\right)}{\sqrt{2}} & -\frac{i \sin \left(\sqrt{2} \Delta t \right)}{\sqrt{2}} \\ -\frac{i \sin \left(\sqrt{2} \Delta t\right)}{\sqrt{2}} & \cos \left(\sqrt{2} \Delta t \right)+\frac{i \sin \left(\sqrt{2} \Delta t\right)}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \right)$$ и $$\langle \psi_0(0)\vert U(\Delta t) \vert\psi_0(0)\rangle =\cos \left(\sqrt{2} \Delta t \right)-\frac{i \sin \left(\sqrt{2} \Delta t\right)}{\sqrt{2}}$$ так что, расширяясь, находим $$\vert\langle\psi_0(0)\vert U(\Delta t)\vert\psi_0(0)\rangle\vert^2 \approx 1-(\Delta t)^2$$ так что в данном случае "быстро" означает $(\Delta t)^2<\epsilon$.