Индексы Миллера для гексагональных кристаллических систем

Из диаграммы видно, что индекс Миллера-Браве имеет избыточную информацию, так как индексы указывают по трем направлениям, отстоящим друг от друга на 120°. Это означает, что вы можете сделать простой геометрический вывод, используя эту диаграмму в качестве руководства:

Третье уравнение следует непосредственно из сложения векторов$\vec u$и$\vec v$- ты это видишь$\vec t$указывает в противоположном направлении.

Столь же очевидно, что в том, как я нарисовал картину,$\vec u = \vec{v'} + \frac12 \vec{u'}$и$\vec v = \frac12 \vec{u'} - \vec v'$

Простые манипуляции с этими уравнениями приводят вас к выражениям, которые вы цитируете.

В гексагональной кристаллической системе, как и в любой другой трехмерной системе, каждый вектор может быть представлен в базисе, состоящем из 3-х линейно независимых векторов. Таким образом, 3 таких вектора было бы достаточно, чтобы описать любое направление, которое мы хотим в кристалле.

На изображении ниже показана шестиугольная элементарная ячейка с 4 осями (представленными векторами):$\vec{a_1}$,$\vec{a_2}$,$\vec{a_3}$и$\vec{z}$, используемый для обозначения направлений в кристалле. Векторы$\vec{a_1}$,$\vec{a_2}$и$\vec{a_3}$являются$\mathit{not}$линейно независимы. Условно выбираем$\vec{a_3}$быть «лишним» вектором, и$\vec{a_1}$,$\vec{a_2}$, и$\vec{z}$«основные» векторы, общие как для 4-х, так и для 3-х индексных систем.

Вектор$\vec{a_3}$определяется как$\vec{a_3} = -\left(\vec{a_1} + \vec{a_2}\right)$, что дает нам некоторую интуицию для требования$t = -(u+v)$соблюдаться, так как u,v и t являются компонентами вдоль$\vec{a_1}, \vec{a_2}$и$\vec{a_3}$, соответственно. Мы могли бы использовать другое соотношение между$u$,$v$и$t$, но этот самый простой (нам нужно дополнительное уравнение для того, чтобы компоненты вектора были уникальными, поскольку$\vec{a_1}$,$\vec{a_2}$и$\vec{a_3}$не являются линейно независимыми).

Разница между представлениями с 3 индексами (обозначается [u'v'w']) и представлениями с 4 индексами (обозначается [uvtw]) заключается в том, что при использовании 3 индексов мы игнорируем вектор$\vec{a_3}$, и использовать только$\vec{a_1}$,$\vec{a_2}$и$\vec{z}$($\mathit{same}$ $\vec{a_1}$,$\vec{a_2}$и$\vec{z}$в$\mathit{both}$представления - разница только в наличии или отсутствии$\vec{a_3}$). Заметить, что$\vec{a_1}$и$\vec{a_2}$являются$\mathbf{not}$ортогональный. Вместо этого они делают$120^\circ$угол, так что они не обычные$\hat{x}$и$\hat{y}$векторы, а те, которые соблюдают симметрию кристалла.

Теперь любой вектор$\vec{v}$может быть записан в обоих представлениях (опять же, обратите внимание, что единственная разница между ними состоит в том,$\vec{a_3}$присутствует в 4-индексной нотации и отсутствует в 3-индексной нотации):

$$\vec{v} = u'\vec{a_1} + v'\vec{a_2} + w'\vec{z} \tag{1} \label{1}$$ и $$\vec{v} = u\vec{a_1} + v\vec{a_2} + t\vec{a_3} + w\vec{z} \tag{2} \label{2}$$

Как$\vec{a_3} = -\left(\vec{a_1} + \vec{a_2}\right)$, подставляя это в уравнение$\eqref{2}$мы получаем:

$$\vec{v} = (u-t)\vec{a_1} + (v-t)\vec{a_2} + w\vec{z}$$

Заменив$t = -(u+v)$далее получаем

$$\vec{v} = (2u+v)\vec{a_1} + (2v+u)\vec{a_2} + w\vec{z} \tag{3} \label{3}$$

Приравнивая компоненты по одним и тем же векторам из$\eqref{3}$и$\eqref{1}$мы получаем

$$\begin{aligned} u' &= 2u+v\\ v' &= 2v+u\\ w' &= w \end{aligned}$$

Предполагая$u'$,$v'$и$w'$известны, мы можем решить систему для$u$,$v$и$w$и получить

$$\begin{aligned} u &= \frac{1}{3} \left(2u'-v'\right)\\ v &= \frac{1}{3} \left(2v'-u'\right)\\ t &= -\left(u+v\right)\\ w &= w' \end{aligned}$$ по желанию.