Интеграл от КТП Ланкастера

В главе 32 книги Ланкастера «Квантовая теория поля для одаренных любителей» обсуждается перенормировка. Амплитуды различных однопетлевых диаграмм Фейнмана, являющихся поправками к вершине в ф 4 скалярная теория поля становится конечной за счет ограничения импульса. Ланкастер пишет

∫ 0 Λ г 4 д ( 2 π ) 4 ) я д 2 − м 2 + я ϵ я ( п − д ) 2 − м 2 + я ϵ "=" − 4 я а п ⁡ ( Λ п ) ,

где а является «числовой константой, точное значение которой нам не важно». Прежде всего, я хотел бы знать точную стоимость в любом случае. Во-вторых, что именно означают здесь оценки интеграла? Каждая компонента четырехимпульса обрывается в точке Λ , или это просто величина? Я хотел бы знать, как на самом деле получить результат, который дает Ланкастер.

Привет, Кляйн Четыре. Если вы еще этого не сделали, пожалуйста, найдите минутку, чтобы прочитать определение того, когда использовать тег « домашняя работа и упражнения» , и политику Phys.SE для проблем, подобных домашней работе.
Спасибо, что дал мне знать. Этот вопрос никоим образом не является домашним заданием. Учебник просто цитирует этот результат, а затем использует его в оставшейся части главы. Я просто хотел бы посмотреть, как будет найден этот результат. Это чисто для моего собственного назидания. Я студент, но я даже не в классе, который изучает этот материал.

Ответы (1)

Чтобы ответить на ваш второй вопрос, Λ является евклидовой отсечкой. То есть евклидов квадрат импульса ограничен

д 0 2 + д → 2 ≤ Λ 2 .

В реальных вычислениях вы, вероятно, захотите сначала повернуть по Вику формальный расходящийся интеграл, а затем наложить ограничение на евклидов импульс.

Прежде чем вы спросите: это выражение не является лоренц-инвариантным. Обрезка по импульсу нарушает лоренц-инвариантность, и нам придется явно проверять результаты теории на лоренц-инвариантность после перенормировки (спойлер: лоренц-инвариантность оказывается ненарушенной в ф 4 теории на произвольном уровне петель).

Чтобы частично ответить на ваш первый вопрос. точное значение не знаю а . Его можно вычислить явно:

  1. Вы вращаете фитиль г д 0 интеграл (деформировать контур интегрирования в комплексной плоскости, переходя к евклидову импульсу).
  2. Вы используете параметризацию Фейнмана для учета п . В идеале вы хотите перейти к другой переменной интеграции к мю такой, что п больше не появляется в интеграле. Конечно, это все еще появляется в результате, потому что само изменение переменных зависит от п .
  3. Обратите внимание, что второй шаг не является простым, потому что замена переменных вводит нетривиальные п -зависимые ограничения регуляризации на к (в отличие от ограничения на д ). Но поскольку вы хотите вычислить это только в Λ ≫ п предел, вы можете просто игнорировать эти проблемы и использовать то же ограничение, что и для д :
    к 0 2 + к → 2 ≤ Λ 2 .
  4. Вы переходите к сферическим координатам в р 4 и возьмите интеграл, который даст вам значение а .
Интеграл от КТП Ланкастера
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v