Расходящиеся интегралы в КТП

Я начинаю узнавать о QFT, и я заметил, что интегралам, которые в противном случае расходились бы, присваивается значение, если мы делаем это путем контурного интегрирования, используя теорему об остатках и рецепт Фейнмана, например

я ∫ г 4 п ( 2 π ) 4 1 п 2 − М 2     знак равно     я ∫ г 3 п ( 2 π ) 4     ∫ − ∞ ∞ г п 0 1 ( п 0 ) 2 − Е п 2     знак равно     1 2 ∫ г 3 п ( 2 π ) 3     1 Е п .

Интеграл справа в первой строке расходится ( п 0 реально как есть Е п ), но если воспользоваться рецептом Фейнмана, т. е. заменой подынтегральной функции

1 ( п 0 ) 2 − Е п 2     →     1 ( п 0 ) 2 − Е п 2 + я ϵ ,
мы можем оценить это до конечного значения (которое использовалось для перехода от первой строки ко второй), используя теорему об остатках. Кстати, интеграл во второй строке все равно расходится, и его нужно регуляризовать.

Но мой вопрос касается первого шага, почему допустимо присваивать значение этому интегралу, просто сдвигая его полюса? Интеграл не сходится, сдвигая его полюса, мы вычисляем другой интеграл, не тот, с которого начали.

Хотя это и не то же самое, связанный вопрос (и очень хороший ответ на часть сдвигающегося контура) physics.stackexchange.com/q/138217 . В основном примечание о том, почему вы можете добавить мнимую часть в знаменатель

Ответы (1)

Это распространенный (и хороший) вопрос, который является результатом более серьезного отношения к вступительным текстам, чем следовало бы.

Читая такие тексты, создается впечатление, что философия

Мы поступаем максимально наивно и, когда находим расхождение, регулируем его.

С другой стороны, правильное (и гораздо более полезное) отношение

Мы с самого начала относимся к вещам более серьезно и следим за тем, чтобы все выражения всегда были конечными. Мы не регулируем вещи на ходу, а берем конечную теорию за отправную точку.

Второе отношение, возможно, немного сложнее сформулировать, и именно поэтому вводные тексты не следуют ему. Легче исправить ситуацию на ходу, чем предвидеть проблемы, с которыми читатель не знаком. Но как только глобальная картина станет более-менее ясной, следует сменить философию на более правильную, где все изначально конечно.

В этом смысле вопрос ОП становится бессмысленным, если рассматривать его в контексте второго отношения: мы не вводим + я ϵ и изменение интеграла; скорее, + я ϵ был там всегда , с самого начала. OP спрашивает, почему допустимо присваивать конечное значение интегралу, изменяя подынтегральное выражение. Они правы в своем скептицизме: интегралы — это то, чем они являются, и если вы их модифицируете, вы вычисляете что-то другое. Вам не разрешено изменять подынтегральное выражение, потому что если вы это сделаете, вы вычислите не то, что хотели вычислить.

Решение состоит в том, что если вы делаете все правильно с самого начала , интеграл, который вы действительно хотите вычислить, будет модифицированным, а не расходящимся.

Теперь правильная формулировка QFT с самого начала выходит за рамки этого ответа, но позвольте мне упомянуть, что + я ϵ рецепт и его происхождение в контексте интегральной по путям формулировки QFT обсуждается в этом посте PSE . В операторном формализме происхождение несколько иное (но философия та же). В общем, ответ на вопрос ОП: + я ϵ не вводится вручную, но он всегда был рядом. Если вы не видели этого раньше, то это потому, что текст, за которым вы следуете, был максимально простым.

У меня пока нет опыта, чтобы вникать в математику, которую вы описали в другом посте. Но чтобы ответить на мой вопрос, происхождение я ϵ предписание в КТП исходит из граничных условий для полей в формализме интеграла по траекториям, верно? Если не то же начало, то к «чему» в операторном формализме применяются граничные условия?
@ Slayer147 1) Да, я ϵ исходит из интегральных по путям краевых условий. 2) В операторном формализме нет граничных условий (ну, по крайней мере, в стандартном случае, в некоторых более сложных случаях они есть). Существуют разные подходы к пониманию происхождения я ϵ в операторном формализме. Мне больше всего нравится то, что он обеспечивает причинность (т. е. он исходит из символа временного порядка; точнее, из преобразования Фурье ступенчатой ​​функции, см. КТП Вайнберга, том 1, §6.2).
Расходящиеся интегралы в КТП
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v