Интеграл пропагатора Клейна-Гордона

ОТКАЗ ОТ ОТВЕТСТВЕННОСТИ: я отредактировал вопрос, включив в него интегралы и изображение.

Я изучаю поле Кляйна-Гордона в Peskin & Schroeder Введение в квантовую теорию поля Существует интеграл, который я не вижу, связанный с вычислением пропагаторов, в частности, для поля КГ. Я имею в виду два шага

(2.54) ⟨ 0 | [ ф ( Икс ) , ф ( у ) ] 0 ⟩ "=" ∫ г 3 п ( 2 π ) 3 1 2 Е п ( е − я п ⋅ ( Икс − у ) − е я п ⋅ ( Икс − у ) ) .

Теперь этот интеграл записывается как

∫ г 3 п ( 2 π ) 3 { 1 2 Е п е − я п ⋅ ( Икс − у ) | п 0 "=" Е п + 1 − 2 Е п е − я п ⋅ ( Икс − у ) | п 0 "=" − Е п }

Вопрос 1) Как можно исправить значение п 0 быть ± Е п ? Это только обозначения?

Теперь он говорит, что это может быть записано как п 0 интеграл в следующем контуре

введите описание изображения здесь

Если Икс 0 > у 0 затем

∫ г 3 п ( 2 π ) 3 ∫ г п 0 2 π я − 1 п 2 − м 2 е − я п ⋅ ( Икс − у )

и контур замкнут снизу. Если Икс 0 < у 0 контур замыкается сверху, давая 0 (это я вижу)

Вопрос 2) Почему именно такой выбор замкнутых контуров?

Когда мне приходилось делать какой-либо интеграл с теоремой о вычетах, обычно это были интегралы по р так что контур интегрирования на комплексной плоскости представляет собой в точности полуокружность радиуса р с р → ∞ . Теперь это не так, потому что контур не проходит через всю реальную линию.

Вопрос 3) Полукруги с центром в ± Е п влиять на п 0 интеграция?

Это связано с контурными интегралами. Вы что это такое?
Да, я знаю, что это связано с теоремой об остатках, но я не вижу этих конкретных интегралов.
ХОРОШО. Часто обычные интегралы по вещественной прямой можно распространить на комплексную плоскость, где затем можно использовать теорему о вычетах. Вы знаете, как это делается? Это то же самое, что применимо и здесь.
Да, моя конкретная проблема связана с контуром интегрирования, представляющим собой полукруг, но с двумя полукругами в конце. ± Е п . находится на 30 странице книги

Ответы (1)

Хорошо, передо мной открыт журнал Peskin & Schroeder. Они не говорят, что ⟨ 0 | [ ф ( Икс ) , ф ( у ) ] | 0 ⟩ принимает два разных значения в зависимости от того, как вы замыкаете контур. Они говорят, что интеграл, данный в последней строке уравнения 2.54

∫ г 3 п ( 2 π ) 3 ∫ г п 0 2 π я − 1 п 2 − м 2 е − я п ⋅ ( Икс − у )
либо равно _ ⟨ 0 | [ ф ( Икс ) , ф ( у ) ] | 0 ⟩ или ноль, в зависимости от того, Икс 0 > у 0 или Икс 0 < у 0 (что, в свою очередь, диктует, каким образом вы должны закрыть контур).

Вы можете вычислить интеграл, добавив к нему дугу сверху или снизу, сделав его замкнутым контуром. Но надо выбрать дугу так, чтобы в пределе, когда ее радиус стремится к бесконечности, интеграл по дуге обращался в нуль. В противном случае добавление дуги изменит значение интеграла. Для Икс 0 > у 0 правильный выбор - закрыть контур снизу. Это охватывает оба полюса, и из теоремы о вычетах следует, что интеграл равен ⟨ 0 | [ ф ( Икс ) , ф ( у ) ] | 0 ⟩ . Для Икс 0 < у 0 , правильный выбор состоит в том, чтобы замкнуть контур выше, не заключая полюсов, из чего следует, что интеграл равен нулю.

Поэтому в общем случае интеграл равен θ ( Икс 0 − у 0 ) ⟨ 0 | [ ф ( Икс ) , ф ( у ) ] | 0 ⟩ , что является запаздывающей функцией Грина. (Здесь θ является ступенчатой ​​функцией.)

Привет спасибо. Если полюса смещены от действительной оси на некоторое я ϵ тогда вы всегда получаете один полюс, не так ли?
@Nivalth: см. также Propagators и посмотрите на разные ϵ предписания, для различных пропагандистов.
@Nivalth: Вы можете выполнить смещение несколькими способами. При выборе P. & S. на стр. 30 вы включаете два или ни одного полюса. С рецептом Фейнмана, который они дают на следующей странице, вы всегда заключаете один полюс. Ссылка Trimok содержит хорошие детали.
Привет спасибо. Если интеграл для п 0 е р есть ли проблема с полукругами на обоих полюсах? Обычно контур представляет собой строго полукруг, это более или менее то же самое, но не совсем
Интеграл пропагатора Клейна-Гордона
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v