Функция Грина для неоднородного уравнения Клейна-Гордона

Question

Функция Грина для неоднородного уравнения Клейна-Гордона

Физика
распространитель
зеленые функции
квантовая теория поля
уравнение Клейна-Гордона

Артур Суворов

Я пытаюсь решить масштабное уравнение Клейна-Гордона в старом добром пространстве-времени Минковского:

(◻ + м^{2}) ф знак равно р (т, Икс)

$(\square + m^2) \phi = \rho(t,\mathbf{x})$ куда

◻ = \partial_{μ} \partial^{μ} = \partial_{t}^{2} - \nabla^{2}

$\square = \partial_{\mu} \partial^{\mu} = \partial_{t}^2 - \nabla^2$ . Таким образом, можно использовать подход функции Грина, чтобы найти фундаментальное решение формы

(◻ + м^{2}) {грамм}_{м} знак равно дельта ({Икс}^{мю} - {Икс}^{' мю})

$(\square + m^2) \mathscr{G}_{m} = \delta(x^{\mu} - x'^{\mu})$ куда

G_{m}

$\mathscr{G}_{m}$ является известным пропагатором Клейна-Гордона. Затем получают решение

ϕ

$\phi$ в позиционном пространстве, заданном как известное решение

ф ({Икс}^{мю}) знак равно \int д^{4} {Икс}^{'} {грамм}_{м} ({Икс}^{мю}, {Икс}^{' мю}) р (т^{'}, {Икс}^{'}) (⋆)

$\phi(x^{\mu}) = \int d^{4} x' \mathscr{G}_{m}(x^{\mu},x'^{\mu}) \rho(t',\mathbf{x}') \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (\star)$ Я был совершенно доволен этим, пока мне не понадобилось реализовать фактическое

ρ

$\rho$ и выполнить интегралы. До сих пор мне лучше всего было использовать найденное мной представление функции Бесселя (здесь: http://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/BesselJ/31/02/ ) (которое, как я предполагал, имеет обобщение) форма:

{грамм}_{м} (т, т^{'}, Икс, {Икс}^{'}) знак равно \frac{θ (т - т^{'})}{2 π} дельта ((т - т^{'})^{2} - | Икс - {Икс}^{'} |^{2}) - \frac{м}{2 π} θ (т - т^{'} - | Икс - {Икс}^{'} |) \frac{{Дж}_{1} (м \sqrt{(т - т^{'})^{2} - | Икс - {Икс}^{'} |^{2})}}{м \sqrt{(т - т^{'})^{2} - | Икс - {Икс}^{'} |^{2})}}

$\mathscr{G}_{m}(t,t',\mathbf{x},\mathbf{x}') = \frac {\theta(t-t')} {2 \pi} \delta\Big( (t-t')^2 - |\mathbf{x} - \mathbf{x'}|^2 \Big) - \frac {m} {2 \pi} \theta(t-t' - |\mathbf{x} - \mathbf{x}'|) \frac {J_{1}(m \sqrt{(t-t')^2 - |\mathbf{x} - \mathbf{x}'|^2)}} {m\sqrt{(t-t')^2 - |\mathbf{x} - \mathbf{x}'|^2)}}$ хотя это хорошее представление в закрытой форме, мне все еще очень трудно оценить интеграл

(⋆)

$(\star)$ . Я довольно долго искал в разных местах явные примеры вычисления интеграла и пока нашел очень мало. Mathematica (моя любимая вычислительная программа) действительно презирает эти функции Хевисайда в интегралах и предлагает мало рекомендаций. Единственный случай, который я могу сделать до сих пор, это

m \mapsto 0

$m \mapsto 0$ .

Вопрос: Используя представление $\mathscr{G}_{m}$ учитывая (или другой более приятный), как можно на самом деле вычислить $(\star)$ ? Кто-нибудь получил ссылку, в которой вычисляется какой-то явный пример, где $\rho$ выходит за рамки простого $\delta$ -функция? Даже что-то вроде $\rho = \rho(r,\theta)$ или же $\rho = \rho(r)$ было бы большим подспорьем.

Спасибо!

ДжамалС

Пожалуйста, опубликуйте конкретные

ρ (x, t)

$\rho(x,t)$ , вы должны рассматривать в каждом конкретном случае.

Артур Суворов

Я ищу здесь общую стратегию, которая, я полагаю, может быть принятием желаемого за действительное. Специфика, связанная с

ρ

$\rho$ не так уж и важны (поскольку у меня есть много дел, с которыми я хотел бы поиграть в конце концов). Я хочу знать, подходит ли представление, которое у меня есть, для вычислений и как их можно выполнить. В идеале я надеялся, что кто-то может знать ссылку, в которой вычисляются некоторые явные примеры. Даже что-то вроде

ρ = a r^{2} + b r + c

$\rho = a r^2 + b r + c$ было бы полезно, так как я могу смотреть на это и надеяться обобщить. В нынешнем виде я действительно не знаю, как к этому подступиться.

Нойнек

Если проблема заключается в функциях Хевисайда, можете ли вы попытаться решить Задачу без них и реализовать различение случаев вручную? Хевисайды, похоже, реализуют причинно-следственную связь...

Артур Суворов

Спасибо, @Neuneck, это определенно стоит попробовать. Однако, что касается интеграции, я изо всех сил пытаюсь даже оценить

\int д^{4} {Икс}^{'} \frac{{Дж}_{1} (м \sqrt{(т - т^{'})^{2} - | Икс - {Икс}^{'} |^{2}}}{м \sqrt{(т - т^{'})^{2} - | Икс - {Икс}^{'} |^{2}}}

$\int d^{4} x' \frac {J_{1}(m \sqrt{(t-t')^2 - |\mathbf{x} - \mathbf{x}'|^2}} {m \sqrt{(t-t')^{2} - |\mathbf{x} - \mathbf{x}'|^2}}$ (это когда

ρ

$\rho$ является постоянным). Я нашел эту ( fh-jena.de/~rsh/Forschung/Stoer/besint.pdf ) таблицу интегралов функций Бесселя, но этого там нет. Есть ли вообще основания предполагать, что интеграл существует в элементарной форме? Я полагаю, что нет.

предложение не может отказаться

У вас есть ссылка на то, как выводится функция зеленого? Я имею в виду формулу от вольфрама

Ответы (1)

Функция Грина для неоднородного уравнения Клейна-Гордона

Пожалуйста, опубликуйте конкретные $\rho(x,t)$ , вы должны рассматривать в каждом конкретном случае.
Я ищу здесь общую стратегию, которая, я полагаю, может быть принятием желаемого за действительное. Специфика, связанная с $\rho$ не так уж и важны (поскольку у меня есть много дел, с которыми я хотел бы поиграть в конце концов). Я хочу знать, подходит ли представление, которое у меня есть, для вычислений и как их можно выполнить. В идеале я надеялся, что кто-то может знать ссылку, в которой вычисляются некоторые явные примеры. Даже что-то вроде $\rho = a r^2 + b r + c$ было бы полезно, так как я могу смотреть на это и надеяться обобщить. В нынешнем виде я действительно не знаю, как к этому подступиться.
Если проблема заключается в функциях Хевисайда, можете ли вы попытаться решить Задачу без них и реализовать различение случаев вручную? Хевисайды, похоже, реализуют причинно-следственную связь...
Спасибо, @Neuneck, это определенно стоит попробовать. Однако, что касается интеграции, я изо всех сил пытаюсь даже оценить $\int д^{4} {Икс}^{'} \frac{{Дж}_{1} (м \sqrt{(т - т^{'})^{2} - | Икс - {Икс}^{'} |^{2}}}{м \sqrt{(т - т^{'})^{2} - | Икс - {Икс}^{'} |^{2}}}$ $\int d^{4} x' \frac {J_{1}(m \sqrt{(t-t')^2 - |\mathbf{x} - \mathbf{x}'|^2}} {m \sqrt{(t-t')^{2} - |\mathbf{x} - \mathbf{x}'|^2}}$ (это когда $\rho$ является постоянным). Я нашел эту ( fh-jena.de/~rsh/Forschung/Stoer/besint.pdf ) таблицу интегралов функций Бесселя, но этого там нет. Есть ли вообще основания предполагать, что интеграл существует в элементарной форме? Я полагаю, что нет.
У вас есть ссылка на то, как выводится функция зеленого? Я имею в виду формулу от вольфрама

Том Хайнцль · Answer 1

Я знаю, что это старый вопрос и может считаться несколько устаревшим, но тем не менее позвольте мне ответить на него - хотя бы для полноты картины.

Представление функции Грина Клейна-Гордона (пропагатор) в пространстве позиций явно выглядит устрашающе. Хитрость заключается в том, чтобы выполнить расчет в импульсном пространстве, где пропагатор — это просто рациональная функция. Прежде чем сделать это, позвольте мне указать, что в безмассовом случае $m = 0$ , а для статического источника $\rho = \rho (\mathbf{x})$ , фактически решается уравнение Пуассона. Если источник радиально-симметричен, $\rho = \rho(r)$ , как было предложено в вопросе, решением является кулоновский потенциал, $\phi = \phi(r) \sim 1/r$ . Учитывая неисчезающую массу, получаем потенциал Юкавы, $\phi \sim \exp(-mr)/r$ .

Это можно явно показать с помощью интегралов Фурье. Во-первых, преобразовать поле,

ф (к) знак равно \int д^{4} Икс е^{я к \cdot Икс} ф (Икс),

$\phi(k) = \int d^4 x \, e^{i k\cdot x} \, \phi (x) \; ,$

и так же источник, $\rho \to \rho(k)$ . Тогда решение уравнения КГ в импульсном пространстве имеет вид

ф (к) знак равно \frac{р (к)}{к^{2} - м^{2} + я ϵ},

$\phi(k) = \frac{\rho(k)}{k^2 - m^2 + i \epsilon} \; ,$

с $k^2 = k_0^2 - \mathbf{k}^2$ и причинный $i\epsilon$ -рецепт. (Измените соответствующим образом для отсталых/продвинутых решений.) Затем преобразуйте обратно в пространство позиций,

ф (Икс) знак равно \int \frac{д^{4} к}{(2 π)^{4}} е^{- я к \cdot Икс} \frac{р (к)}{к^{2} - м^{2} + я ϵ} . (* *)

$\phi (x) = \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} \, e^{-i k\cdot x} \, \frac{\rho(k)}{k^2 - m^2 + i \epsilon} \; . \quad (**)$

В качестве примера возьмем источник Гаусса, $\rho(r) = \rho_0 \exp(-\alpha r^2)$ , с "нормализацией" $\rho_0 = (\alpha/\pi)^{3/2}$ . Его преобразование Фурье равно $\rho(k) = 2\pi i \, \delta(k^0) \exp (-k^2/4\alpha)$ . $k^0$ - интеграл в $(**)$ поэтому является тривиальным, и $d^3 k$ интегрирование может быть выполнено с помощью обычной записи метода остатка $\mathbf{k}^2 + m^2 \equiv (\kappa+im)(\kappa-im)$ . Результат

ф (р) знак равно е^{м^{2} / 4 α} \frac{е^{- м р}}{4 π р} .

$\phi(r) = e^{m^2/4\alpha} \, \frac{e^{-mr}}{4\pi r} \; .$

В пределе точечного источника ( $\alpha \to \infty$ ) мы снова получаем стандартный потенциал Юкавы.

Для источников, зависящих от времени, будет передача энергии (нет $\delta(k^0)$ ), а интеграл $(**)$ обычно будет сложнее. Как правило, можно сделать $k^0$ -интегрирование через остатки и оставшуюся часть(и) с использованием стационарной фазы, как, например, в гл. 2.1 Пескина и Шредера.

Спасибо, что нашли время, чтобы написать это. Я видел эти подходы раньше, но действительно беспокоился, что они не будут работать с терминами, зависящими от времени и угла. Я возьму Пескина и Шредера из библиотеки и попробую; спасибо за ссылку на главу. Конечно, хотя решения в пространстве Фурье и пространстве положений должны быть эквивалентны при преобразовании, означает ли это, что у нас есть некоторые представления в замкнутой форме для интегралов Бесселя? Интересно! Может быть само по себе интересное направление исследований =)

Функция Грина для неоднородного уравнения Клейна-Гордона

Артур Суворов

ДжамалС

Артур Суворов

Нойнек

Артур Суворов

предложение не может отказаться

Ответы (1)

Том Хайнцль

Артур Суворов

Как получить явный вид функции Грина уравнения Клейна-Гордона?

Как найти функции Грина для нестационарного неоднородного уравнения Клейна-Гордона?

Интуиция для пропагаторов со спином 1/2 и 1

Вычисление функции Грина теории взаимодействующего поля

Как интерпретировать корреляционные функции в QFT?

Физическая интерпретация запаздывающих и фейнмановских пропагаторов?

Функция Грина для уравнения Клейна-Гордона расходится?

Корреляционная функция и квадривекторы, как упростить тройной интеграл?

Почему функция Грина будет расходиться в одной и той же точке пространства-времени?

Квантовая теория поля, решение дельта/зеленой функции