Асимптотика пропагатора скалярного поля

При обсуждении причинности в главе 2 Пескина и Шредера появляется пара уравнений, описывающих асимптотическое поведение пропагатора для скалярного поля:

$$\text{If} \,\, x^0-y^0=t, \, \, \mathbf{x-y} = 0 \Rightarrow D (x-y) = \frac{1}{4 \pi^2} \int_{m}^{\infty} dE \sqrt{E^2-m^2} e^{-iEt} \underset{t \to \infty}{\sim} e^{-imt}$$ $$\text{If} \,\, x^0-y^0=0, \, \, \mathbf{x-y} = \mathbf{r} \Rightarrow D (x-y) = \frac{1}{4 \pi^2 r} \int_{m}^{\infty} d\rho \frac{\rho\, e^{-\rho r}}{\sqrt{\rho^2 - m^2}} \underset{r \to \infty}{\sim} e^{-mr}$$

Я не понимаю, как вы получаете эти асимптотические поведения (у меня нет проблем с выводом интегральных точных выражений, но потом я застреваю). Все, что я мог сделать, это переписать первый интеграл следующим образом:

$$D (x-y) = \frac{1}{4 \pi^2} \int_{m}^{\infty} dE \sqrt{E^2-m^2} e^{-iEt} = \frac{m}{4 \pi^2 i t} K_1(imt)$$

используя эту статью о модифицированных функциях Бесселя второго рода. Но сверяясь с Mathematica, это исчезает для$t \to \infty$. Что касается второго интеграла, я понятия не имею, поэтому любая помощь будет более чем кстати!

Дополнительный (но связанный) вопрос:

В первом обсуждении главы появляется нечто подобное

$$U(t) = \frac{1}{2 \pi^2 | \mathbf{x - x_0} | } \int_{0}^{\infty}dp\,p\, \sin (p | \mathbf{x - x_0} | ) e^{-it \sqrt{p^2 + m^2}}$$

Это также получено с помощью аналогичной процедуры?