Корреляционная функция и квадривекторы, как упростить тройной интеграл?

Далее рассмотрим случай, когда Икс − у чисто пространственный: Икс 0 − у 0 "=" 0 , Икс − у "=" р . Тогда амплитуда

Д ( Икс − у ) "=" ∫ г 3 п ( 2 π ) 3 1 2 Е п е я п ⋅ р "=" 2 π ( 2 π ) 3 ∫ 0 ∞ г п п 2 2 Е п е я п р − е − я п р я п р "=" − я 2 ( 2 π ) 2 р ∫ − ∞ ∞ г п п е я п р п 2 + м 2

Может кто-нибудь объяснить мне, как он упростил этот тройной интеграл до простого? Это из книги Пескина «Введение в квантовую теорию поля».

Пожалуйста, не размещайте изображения математики. На этом сайте вы должны использовать MathJax для всей математики.

Ответы (2)

Он использовал сферические полярные координаты в импульсном пространстве и выполнил угловое интегрирование. Другими словами,

г 3 п "=" п 2 грех ⁡ θ г п г θ г ф .

Чтобы выполнить угловое интегрирование, возьмите полярную ось вдоль р так, чтобы угол между п и р является θ .

Важно понимать, что вы можете свободно вводить любые координаты, которые облегчат вычисление интеграла, включающего векторы.

Разве интеграл по угловым координатам не должен дать мне 4pi?
Нет, потому что скалярное произведение включает косинус угла между двумя векторами. Если провести полярную ось вдоль р , то этот угол равен θ . Так п ⋅ р "=" п р потому что ⁡ θ .

Вместо того, чтобы делать интеграл от г 3 п по всему р 3 можно переключиться на сферические полярные координаты и проинтегрировать сферу по всем р (который в данном случае они только что назвали п снова). Обратите внимание, что первый интеграл закончился ( − ∞ , + ∞ ) и второй закончился ( 0 , ∞ ) .

Разве интеграл по угловым координатам не должен дать мне 4pi?
Корреляционная функция и квадривекторы, как упростить тройной интеграл?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v