Уравнение Швингера-Дайсона для поля Клейна-Гордона

Question

Уравнение Швингера-Дайсона для поля Клейна-Гордона

Физика
распространитель
интеграл по путям
квантовая теория поля
корреляционные функции
уравнение Клейна-Гордона

Маркус Зетто

У меня вопрос об использовании уравнения Швингера-Дайсона для поля Клейна-Гордона.

\begin{matrix} (22.23) & \begin{aligned} я < 0 | Т (дельта С / дельта ф (Икс)) ф ({Икс}_{1}) \dots | 0 > \\ + < 0 | Т дельта (Икс - {Икс}_{1}) \dots | 0 > & "=" 0 . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} i <0|T (\delta S / \delta \phi(x) ) \phi(x_1)\ldots |0> &\cr +<0|T\delta(x-x_1)\ldots|0>&=0 .\end{align}\tag{22.23}$ Пока другие вставки не рядом

x

$x$ . Так

\begin{matrix} (22,23') & < 0 | Т ((- \partial^{2} - м^{2}) ф (Икс)) ф ({Икс}_{1}) | 0 >= я дельта (Икс - {Икс}_{1}) . \end{matrix}

$<0|T((-\partial^2-m^2)\phi(x))\phi(x_1)|0>=i\delta(x-x_1).\tag{22.23'}$ Теперь, в книге Средненицкого QFT , утверждается, что оператор Клейна-Гордона скорее должен быть вне VEV, что «ясно из формулировки интеграла по путям». Ну, мне не ясно, даже записав формулировку интеграла по путям, почему это должно быть скорее

\begin{matrix} (22.24) & \begin{aligned} (\partial_{Икс}^{2} + м^{2}) < 0 | Т ф (Икс) ф ({Икс}_{1}) | 0 >= & (\partial_{Икс}^{2} + м^{2}) Δ (Икс - {Икс}_{1}) \\ "=" & - я дельта (Икс - {Икс}_{1}) . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} (\partial_x^2+m^2)<0|T\phi(x)\phi(x_1)|0>=&(\partial_x^2+m^2)\Delta(x-x_1)\cr =&-i\delta (x-x_1). \end{align}\tag{22.24}$ Таким образом, производная также действует на ступенчатые функции во временном порядке. Для удобства я также запишу представление интеграла по путям первой формулы:

\begin{matrix} (22.22) & 0 "=" \int Д ф е^{я С (ф)} (я \frac{дельта С}{дельта ф (Икс)} ф ({Икс}_{1}) + дельта (Икс - {Икс}_{1})) . \end{matrix}

$0=\int D\phi \ e^{iS(\phi)}(i \frac{\delta S}{\delta \phi(x)} \phi(x_1) +\delta(x-x_1)).\tag{22.22}$

СлучайныйПреобразование Фурье

Средненицкий ведет себя небрежно. Настоящее оправдание состоит в том, что интегральный по путям символ упорядочения по времени является ковариантным, а не наивным, и первый коммутирует с пространственно-временными производными. В книге Средненицкого вы не найдете подходящего объяснения, поэтому вам придется принять его утверждения и научиться с этим жить. Тем не менее, хорошая книга, если учесть, что он не пытается быть точным или строгим.

проф. Леголасов

Попробуйте заменить производную конечно-разностной аппроксимацией. Отсюда должно быть очевидно, почему он коммутирует с интегралом по путям.

Qмеханик

Связано: physics.stackexchange.com/q/197313/2451 , physics.stackexchange.com/q/296309/2451 и ссылки в них.

Ответы (1)

Уравнение Швингера-Дайсона для поля Клейна-Гордона

Средненицкий ведет себя небрежно. Настоящее оправдание состоит в том, что интегральный по путям символ упорядочения по времени является ковариантным, а не наивным, и первый коммутирует с пространственно-временными производными. В книге Средненицкого вы не найдете подходящего объяснения, поэтому вам придется принять его утверждения и научиться с этим жить. Тем не менее, хорошая книга, если учесть, что он не пытается быть точным или строгим.
Попробуйте заменить производную конечно-разностной аппроксимацией. Отсюда должно быть очевидно, почему он коммутирует с интегралом по путям.
Связано: physics.stackexchange.com/q/197313/2451 , physics.stackexchange.com/q/296309/2451 и ссылки в них.

Qмеханик · Answer 1

Вышеприведенный комментарий AccidentalFourierTransform совершенно верен: дело в том, что порядок времени Средненицкого $T$ следует заменить ковариантным временным порядком $T_{\rm cov}$ , то есть временные дифференциации внутри его аргумента должны быть взяты после/вне обычного порядка времени $T$ .

Это разрешает очевидный конфликт/противоречие между уравнениями Средненицкого. (22,23') и (22,24). Другими словами, двухточечная функция $\left<T\{\phi\phi\} \right>$ может быть только функция Грина $\Delta$ если мы используем $T_{\rm cov}$ вместо $T$ в SD экв. (22.23).
В более общем плане формальная переписка/словарь между
$\begin{matrix} (А) & операторная формулировка \leftrightarrow формулировка интеграла по путям \end{matrix}$ $\text{operator formulation} \quad\leftrightarrow\quad \text{path integral formulation}\tag{A}$ является $\begin{matrix} (Б) & \begin{aligned} {⟨ Ом | Т_{с о в} {Ф [ф]} | Ом ⟩}_{Дж} "=" & \frac{1}{Z [Дж]} \int Д ф Ф [ф] опыт {\frac{я}{ℏ} С [ф; Дж]} \\ "=" & \frac{1}{Z [Дж]} Ф [\frac{ℏ}{я} \frac{дельта}{дельта Дж}] Z [Дж], \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \left< \Omega \left| T_{\rm cov}\{ F[\phi]\} \right| \Omega \right>_J ~=~& \frac{1}{Z[J]}\int \! {\cal D}\phi~F[\phi]~\exp\left\{\frac{i}{\hbar}S[\phi;J]\right\}\cr ~=~& \frac{1}{Z[J]}F\left[\frac{\hbar}{i}\frac{\delta}{\delta J} \right]Z[J],\end{align}\tag{B}$ где $F$ является произвольным функционалом и где статистическая сумма / интеграл по путям $\begin{matrix} (С) & \begin{aligned} Z [Дж] "=" & \int Д ф опыт {\frac{я}{ℏ} С [ф; Дж]}, \\ С [ф; Дж] "=" & С [ф] + {Дж}_{к} ф^{к}, \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} Z[J]~:=~& \int \! {\cal D}\phi~\exp\left\{\frac{i}{\hbar}S[\phi;J]\right\},\cr S[\phi;J]~:=~&S[\phi]+J_k\phi^k, \end{align}\tag{C}$ Соответствие (B) следует из лежащей в основе процедуры квантования времени интегралов по траекториям. См., например, этот и этот ответ Phys.SE.
Теперь к главному: обратите внимание, как словарь (B) естественно разговаривает с $T_{\rm cov}$ скорее, чем $T$ : Если функционал $F$ не содержит производных по времени, независимо от того, используем ли мы $T$ или $T_{\rm cov}$ . Однако, если $F$ содержит производные по времени, они применяются вне коррелятора, т.е. временной порядок $T_{\rm cov}$ .
Пример. Если
$\begin{matrix} (Д) & Ф [ф] "=" \prod_{я "=" 1}^{н} {(\frac{\partial}{\partial т_{я}})}^{м_{я}} ф (т_{я}), \end{matrix}$ $F[\phi]~=~\prod_{i=1}^n \left(\frac{\partial}{\partial t_i} \right)^{m_i} \phi(t_i),\tag{D}$ затем $\begin{matrix} (Е) & \begin{aligned} \frac{1}{Z [Дж]} & Ф [\frac{ℏ}{я} \frac{дельта}{дельта Дж}] Z [Дж] \\ \overset{(Д)}{"="} & \frac{1}{Z [Дж]} [\prod_{я "=" 1}^{н} {(\frac{\partial}{\partial т_{я}})}^{м_{я}}] \int Д ф опыт {\frac{я}{ℏ} С [ф; Дж]} \prod_{Дж "=" 1}^{н} ф (т_{Дж}) \\ \overset{(Б)}{"="} & [\prod_{я "=" 1}^{н} {(\frac{\partial}{\partial т_{я}})}^{м_{я}}] {⟨ Ом | Т {\prod_{Дж "=" 1}^{н} ф (т_{Дж})} | Ом ⟩}_{Дж} \\ \overset{(Д)}{"="} & {⟨ Ом | Т_{с о в} {Ф [ф]} | Ом ⟩}_{Дж} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}\frac{1}{Z[J]}&F\left[\frac{\hbar}{i}\frac{\delta}{\delta J} \right]Z[J]\cr ~\stackrel{(D)}{=}~&\frac{1}{Z[J]}\left[\prod_{i=1}^n \left(\frac{\partial}{\partial t_i} \right)^{m_i}\right]\int \! {\cal D}\phi~\exp\left\{\frac{i}{\hbar}S[\phi;J]\right\}\prod_{j=1}^n\phi(t_j)\cr ~\stackrel{(B)}{=}~&\left[\prod_{i=1}^n \left(\frac{\partial}{\partial t_i} \right)^{m_i}\right]\left< \Omega \left| T\left\{ \prod_{j=1}^n\phi(t_j)\right\} \right| \Omega \right>_J\cr ~\stackrel{(D)}{=}~&\left< \Omega \left| T_{\rm cov}\{ F[\phi]\} \right| \Omega \right>_J. \end{align}\tag{E}$
Тогда уравнения Швингера-Дайсона (ШД) принимают вид
$\begin{matrix} (Ф) & {⟨ Ом | Т_{с о в} {Ф [ф] \frac{дельта С [ф; Дж]}{дельта ф (Икс)}} | Ом ⟩}_{Дж} "=" я ℏ {⟨ Ом | Т_{с о в} {\frac{дельта Ф [ф]}{дельта ф (Икс)}} | Ом ⟩}_{Дж}, \end{matrix}$ $\left< \Omega \left| T_{\rm cov}\left\{ F[\phi]\frac{\delta S[\phi;J]}{\delta \phi(x)}\right\}\right| \Omega \right>_J~=~i\hbar\left< \Omega \left| T_{\rm cov}\left\{\frac{\delta F[\phi]}{\delta \phi(x)} \right\}\right| \Omega \right>_J ~, \tag{F}$ ср. например, этот пост Phys.SE.
Напротив, если мы используем только обычное упорядочение по времени $T$ , мы не получаем термин контакта:
$\begin{matrix} (Г) & {⟨ Ом | Т {Ф [ф] \frac{дельта С [ф; Дж]}{дельта ф (Икс)}} | Ом ⟩}_{Дж} "=" 0, \end{matrix}$ $\left< \Omega \left| T\left\{ F[\phi]\frac{\delta S[\phi;J]}{\delta \phi(x)}\right\}\right| \Omega \right>_J~=~0, \tag{G}$ потому что EOM удовлетворяются в квантовом среднем, ср. например, этот пост Phys.SE.

Уравнение Швингера-Дайсона для поля Клейна-Гордона

Маркус Зетто

СлучайныйПреобразование Фурье

проф. Леголасов

Qмеханик

Ответы (1)

Qмеханик

Амплитуда перехода от вакуума к вакууму с использованием функционального интеграла

Уравнения Швингера-Дайсона: вывод уравнения движения для ⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩\langle \phi(x) \phi(y) \rangle

Амплитуды переходов функциональными методами в КТП

Вопрос об основании первой части книги А. Зи

Уравнение Эйлера-Лагранжа движения квантовых полей в КТП

Интегрирование по калибровочному полю в абелевой теории Черна-Саймонса в формализме полевых интегралов

Как интерпретировать корреляционные функции в QFT?

Как подключить функцию Грина к пропагатору?

Диаграммы головастиков в теории ϕ3ϕ3\phi^3

Об интерпретации диаграмм Фейнмана