Вывод равенства δϕ(x)|0⟩\frac{\delta\Gamma[\phi_c]}{\delta\phi_c(x)}=0=\langle 0|\frac{\delta S[\phi,J]}{\ дельта\фи(х)}|0\угол?

То, что вы хотите показать, не интересно и не соответствует действительности. У нас вообще так

$$\frac{\delta \Gamma}{\delta \phi_c(x)} = -J_\phi(x),$$ где $J_\phi$источник тока такой, что $$\langle \phi(x)\rangle_{J_\phi} = \phi_c(x).$$ Ваш экв. (1) неверно, уравнение Швингера-Дайсона говорит, что $$\left\langle \frac{\delta S}{\delta \phi} + J \right\rangle_J = 0,\tag{1'}$$ что совпадает с вашим уравнением. (1) только в случае $J=0$.

Классическое уравнение движения$\Gamma$является$J_\phi = 0$, значение$\langle \phi(x)\rangle_0 = 0 = \phi_c(x)$в лоренц-инвариантной теории, которая не является интересным уравнением и, в частности, не зависит от вида$S$поэтому не может быть напрямую связано с уравнением Швингера-Дайсона.

Правильный способ увидеть, как$\Gamma$кодирует полную квантовую теорию «на классическом уровне» не для вычисления уравнений движения. Квантовая теория не занимается эволюцией классического поля во времени, нет смысла ожидать, что классическое уравнение движения$\Gamma$кодировать динамику квантовой теории. Вместо этого справедливо следующее соотношение:

$$\frac{Z[J]}{Z[0]} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}W[J]} = \int \mathrm{e}^{\mathrm{i}/\hbar\left(S[\phi] + J\phi\right)}\frac{\mathcal{D}\phi}{Z[0]} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}/\hbar\left(\Gamma[\phi_c] + J\phi_c\right)}\tag{3}.$$ Вы можете сказать, что это несколько тривиально, исходя из определения $W$и $\Gamma$, так оно и есть. Важным моментом является то, что правая сторона является классическим значением, которое доминирует над статистической суммой, если взять $\Gamma$как действие само по себе, то есть полная квантовая статистическая сумма$S$задается классическим пределом квантовой статистической суммы$\Gamma$. Именно в этом смысле $\Gamma$это "классическая версия" $S$, а не в смысле уравнений движения.