Представление спектра течений Дирака

Я читаю книгу Строкки «Непертурбативные основы квантовой теории поля».

В главе, посвященной регуляризации точечного расщепления, где свободный ток Дирака определяется следующим образом

$$j_\mu(x)\equiv \lim_{\epsilon\to0}\left[\bar\psi(x+\epsilon)\gamma_\mu\psi(x)-\langle\bar\psi(x+\epsilon)\gamma_\mu\psi(x)\rangle\right]$$ чтобы придать точное значение произведению двух распределений, оцененных в одной и той же точке, есть следующее утверждение о спектральных свойствах текущей функции коммутатора: $$\langle[j_\mu(x),j_\nu(y)]\rangle = (\Box g_{\mu\nu}-\partial_\mu\partial_\nu)\int d\rho(\mu^2) i\Delta(x-y;\mu^2)$$ где $i\Delta(x-y;\mu^2)$есть коммутаторная функция свободного скалярного поля массы $\mu$, и $$\rho(\mu^2)= \frac{1}{3(2\pi)^2}\sqrt{1-\frac{4m^2}{\mu^2}}\left(1+\frac{2m^2}{\mu^2}\right).$$ Подсказка состоит в том, чтобы рассчитать этот спектр, вставив полный набор состояний электрон-позитронных пар. Как я могу это сделать?

Я попытался вставить их в получение двухточечной функции: (я сохраняю метку спина неявной в сумме по всему набору)

$$\langle j_\mu(x) j_\nu(y)\rangle= \int d\mu^2 \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_\mu(\mathbf{k})} \langle j_\mu(x)|\mathbf{k};\mu^2\rangle\langle\mathbf{k};\mu^2| j_\nu(y)\rangle=\\ =\int d\mu^2 \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_\mu(\mathbf{k})}e^{-ik\cdot(x-y)} \langle j_\mu(0)|\mathbf{k};\mu^2\rangle\langle\mathbf{k};\mu^2| j_\nu(0)\rangle$$ теперь я могу рассмотреть усиление Лоренца $\Lambda_\mathbf{k}$так что это приводит нас в систему покоя состояния одиночной частицы $|\mathbf{k};\mu^2\rangle$: $U(\Lambda_\mathbf{k})|\mathbf{k};\mu^2\rangle=|\mathbf{0};\mu^2\rangle$, а по ковариации (векторного) тока $j_\mu$у нас есть $$\langle j_\mu(x) j_\nu(y)\rangle= \int d\mu^2 \langle j_\rho(0)|\mathbf{0};\mu^2\rangle\langle\mathbf{0};\mu^2| j_\lambda(0)\rangle \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_\mu(\mathbf{k})}e^{-ik\cdot(x-y)}(\Lambda_\mathbf{k})^\rho_\mu(\Lambda_\mathbf{k})^\lambda_\nu.$$ Предполагая, что приведенная выше структура верна, поскольку дифференциальный оператор $\Box g_{\mu\nu}-\partial_\mu\partial_\nu$диктуется ковариацией Лоренца и сохранением тока, мы действительно имеем: $$\langle j_\mu(x) j_\nu(y)\rangle=(\Box g_{\mu\nu}-\partial_\mu\partial_\nu)\int d\rho(\mu^2) i\Delta^+(x-y;\mu^2)=\\ =(\Box g_{\mu\nu}-\partial_\mu\partial_\nu)\int d\rho(\mu^2) \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_\mu(\mathbf{k})}e^{-ik\cdot(x-y)}=\\ =\int d\rho(\mu^2) \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{-\mu^2 g_{\mu\nu}+k_\mu k_\nu}{2\omega_\mu(\mathbf{k})}e^{-ik\cdot(x-y)}$$ и проследив и приравняв оба выражения получаем, так как $\Lambda_\mu^\rho g^{\mu\nu}\Lambda_\nu^\lambda=g^{\rho\lambda}$: $$\rho(\mu^2)=-\frac{g^{\rho\lambda}}{3\mu^2}\langle j_\rho(0)|\mathbf{0};\mu^2\rangle\langle\mathbf{0};\mu^2| j_\lambda(0)\rangle.$$ Моя проблема здесь: матричный элемент $$\langle j_\rho(0)|\mathbf{0};\mu^2\rangle$$ похоже, исчезает одинаково, поскольку в ожидаемом значении вакуума есть три оператора уничтожения/создания! Что я пропустил?

(РЕДАКТИРОВАТЬ)

Хорошо, я думаю, я должен просуммировать промежуточные состояния частица-античастица, а не только состояния отдельных частиц, которые приводят к тому, что ve одинаково обращается в нуль.

Указание инвариантного элемента фазового пространства как

$$\int d\Pi(\mathbf{k})\equiv\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_m(\mathbf{k})}$$ мы получаем, позволяя $\mathbf{k}$и $\mathbf{p}$- импульс соответственно электрона и позитрона и $q^2$квадрат центра масс энергия $$\langle j_\mu(x) j_\nu(y)\rangle= \int dq^2 \int d\Pi(\mathbf{k})\int d\Pi(\mathbf{p}) \langle j_\mu(x)|\mathbf{k},\mathbf{p};q^2\rangle\langle\mathbf{k},\mathbf{p};q^2| j_\nu(y)\rangle$$ теперь я могу рассмотреть усиление Лоренца $\Lambda$что приводит нас в систему центра масс состояния частица-античастица и по ковариации (векторного) тока $j_\mu$у нас есть $$\langle j_\mu(x) j_\nu(y)\rangle= \int dq^2 \langle j_\rho(0)|\mathbf{p},-\mathbf{p};q^2\rangle\langle\mathbf{p},-\mathbf{p};q^2| j_\lambda(0)\rangle \frac{|\mathbf{p}|}{(2\pi)^24E_{CM}} \int \frac{d^3P}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_m(\mathbf{P})}e^{-iP\cdot(x-y)}(\Lambda)^\rho_\mu(\Lambda)^\lambda_\nu,$$ где мы выполнили упрощение в интеграле фазового пространства двух тел (Пескин, стр. 107), хотя я не уверен, как избавиться от интегрирования по телесному углу $d\Omega$, что обычно входит в определение поперечного сечения.

Проследив с$g^{\rho\lambda}$получаем, сравнивая с общим выражением выше для 2-точечной функции:

$$\rho(q^2)=-\frac{1}{3q^2}\frac{|\mathbf{p}|}{(2\pi)^24E_{CM}}\langle j_\rho(0)|\mathbf{p},-\mathbf{p};q^2\rangle\langle\mathbf{p},-\mathbf{p};q^2| j^\rho(0)\rangle;$$ немного алгебры Дирака: пусть $p_1=(\omega(\mathbf{p}),\mathbf{p})$, $p_2=(\omega(\mathbf{p}),-\mathbf{p})$ $$\langle j_\rho(0)|\mathbf{p},-\mathbf{p};\mu^2\rangle\langle\mathbf{p},-\mathbf{p};\mu^2| j^\rho(0)\rangle=-\text{Tr}\left[(\hat p_1+m)\gamma_\rho(\hat p_2-m)\gamma^\rho\right]=-8(2m^2+p_1\cdot p_2)$$ и с тех пор $$|\mathbf{p}|=\sqrt{\omega(\mathbf{p})^2-m^2}=\frac{E_{CM}}{2}\sqrt{1-\frac{4m^2}{q^2}}$$ мы получаем $$\rho(q^2)=-\frac{1}{3q^2}\frac{\frac{E_{CM}}{2}\sqrt{1-\frac{4m^2}{q^2}}}{(2\pi)^24E_{CM}}[-8(2m^2+p_1\cdot p_2)]=\frac{1}{6(2\pi)^2}\sqrt{1-\frac{4m^2}{q^2}}\left(\frac{2m^2}{q^2}+1\right)$$ что выглядит неплохо, если не считать дополнительного множителя 2 в знаменателе.