Как вывести эту сумму Мацубары, представленную в Википедии?

На странице Википедии для частот Мацубара представлена ​​следующая формула,

$$\sum_{i\omega_n} \frac{(i\omega_n)^2}{(i\omega_n)^2 - \xi^2} = -\frac{\xi}{2}\Big(1 - 2 N_{\text{FD}}(\xi)\Big),$$ где $\omega_n = (2n+1)\pi/\beta$– фермионные частоты Мацубары и $N_{\text{FD}}(x):= (e^{\beta x}+1)^{-1}$— функция распределения Ферми-Дирака.

Я знаком с теоремой о вычетах и ​​могу вывести "более простые" результаты, связанные с суммированием Мацубары. Однако в этом случае я не вижу, как получить результат. Я предполагаю, что необходимо включить обычный сходящийся фактор$e^{i\omega_n\eta}$с$\eta\rightarrow0$в конце вычисления, иначе сумма даже не сошлась бы. Любая помощь или ссылка будут оценены.

Причина, по которой я спрашиваю об этом, заключается в том, что я действительно хочу оценить сумму Мацубары в форме

$$\sum_{i\omega_n} \frac{(i\omega_n)^2}{(i\omega_n - \xi_1)(i\omega_n - \xi_ 2)}.$$