Как выполняется функциональный интеграл по импульсу в случае вещественного скалярного поля?

Это не махание рукой, и я думаю, что этот конкретный вопрос освещен практически в каждом учебнике, содержащем континуальные интегралы. Прежде всего, вы должны отметить, что мы можем интегрировать$\pi$не касаясь второго показателя, т.е.

$$\langle\phi_b\vert e^{-iHT}\vert\phi_a\rangle =\int \mathcal{D}\phi e^{i\int_0^T d^4x\mathcal{L}}\int\mathcal{D}\pi e^{i\int_0^Td^4x\Big(\frac{i}{\sqrt{2}}\pi-\frac{i}{\sqrt{2}}\partial_t\phi\Big)^2}$$

Интеграл по путям на самом деле является пределом регуляризованных интегралов, например, если мы возьмем значения$\pi$не на континууме, а только на решетке. Для начала забудьте о пространственных координатах и ​​вычислите следующий интеграл:

$$\begin{eqnarray}\int \prod_{k=0}^{N-1}\frac{d\pi_k}{2\pi}\exp\left({i\sum_{k=0}^{N-1} \Big(\frac{i}{\sqrt{2}}\pi_k-\frac{i}{\sqrt{2}}\frac{\phi_{k+1}-\phi_k}{t_{k+1}-t_k}\Big)^2(t_{k+1}-t_k)}\right)\\ =\prod_{k=0}^{N-1}\int \frac{d\pi_k}{2\pi}\exp\left({i\Big(\frac{i}{\sqrt{2}}\pi_k-\frac{i}{\sqrt{2}}\frac{\phi_{k+1}-\phi_k}{t_{k+1}-t_k}\Big)^2(t_{k+1}-t_k)}\right)\end{eqnarray}$$ , который является произведением обычных интегралов Гаусса.

Я предлагаю вам вычислить этот интеграл и взять предел$N\rightarrow+\infty$. Есть важная часть - как и обычный интеграл, для правильного определения ваш интеграл по путям не должен зависеть от метода, которым вы ввели решетку. Также рассмотрите интегралы с различными квадратичными операторами, например, например

$$\int \mathcal{D}\phi e^{i\int_0^T dt \Big((\partial_t\phi)^2-m^2\phi^2\Big)}$$ который даст вам пропагатор для гармонического осциллятора. Затем вы можете применить свои навыки к интегралам по траекториям КТП с некоторым квадратичным оператором и обнаружить, что вы получите очень простое обобщение обычной интегральной формулы Гаусса.