Интеграл, связанный с диффузией частиц

Question

Интеграл, связанный с диффузией частиц

Физика
распространение
статистика
динамика жидкостей
кинетическая теория
Броуновское движение

себ

В контексте диффузии частиц я пытаюсь понять уравнения, описывающие броуновское движение как макроскопический процесс.

Предполагать $N(x,t)$ является числовой концентрацией и $D$ является постоянной диффузии, то мы можем написать:

\frac{\partial Н (Икс, т)}{\partial т} "=" Д \frac{\partial^{2}}{\partial {Икс}^{2}} Н (Икс, т)

$\frac{\partial N(x,t)}{\partial t} = D \frac{\partial^2}{\partial x^2} N(x,t)$

далее мы можем умножить на среднеквадратичное смещение $x^2$ и интегрировать более $x$ от $-\infty$ к $\infty$ :

\int {Икс}^{2} \frac{\partial Н (Икс, т)}{\partial т} д Икс "=" \int {Икс}^{2} Д \frac{\partial^{2}}{\partial {Икс}^{2}} Н (Икс, т) д Икс

$\int x^2 \frac{\partial N(x,t)}{\partial t} dx = \int x^2 D \frac{\partial^2}{\partial x^2} N(x,t) dx$

Теперь скрипт, который я читаю, пишет, что левая часть может быть записана как:

\int {Икс}^{2} \frac{\partial Н (Икс, т)}{\partial т} д Икс "=" Н_{0} \frac{\partial ⟨ {Икс}^{2} ⟩}{\partial т}

$\int x^2 \frac{\partial N(x,t)}{\partial t} dx = N_0 \frac{\partial \langle x^2 \rangle}{\partial t}$

где я предполагаю, что $N_0$ – начальная числовая концентрация частиц и $\langle \rangle$ среднеквадратичное смещение.

Я не понимаю последнее уравнение. Может ли кто-нибудь объяснить, почему я могу выразить интеграл как частную производную по времени среднеквадратичного смещения (умножить на $N_0$ ).

РЕДАКТИРОВАТЬ: $\langle x^2 \rangle$ это среднеквадратичное смещение (вопреки тому, что я написал ранее)

себ

Я нашел альтернативный подход к проблеме, который приведен в статье Википедии о среднеквадратичном смещении . Хотя это не объясняет подход, упомянутый в моем вопросе выше, он показывает альтернативный способ получения конечного результата вычисления, который

⟨ x^{2} ⟩ = 2 D t

$\langle x^2 \rangle = 2 D t$ .

Майкл

Вытяните производную из интеграла. Вы можете сделать это, если ничего другого, кроме

N (x, t)

$N(x,t)$ под интегралом зависит от

t

$t$ . Поэтому область интегрирования должна быть постоянной во времени. Предположим, что вы можете убрать производную и просто использовать определение

⟨ x^{2} ⟩

$\langle x^2 \rangle$ . И это полная производная в правой части:

⟨ x^{2} ⟩

$\langle x^2 \rangle$ зависит только от

t

$t$ .

себ

@MichaelBrown, так что это в основном ответ, который я искал. Я полностью пропустил то, что вы указали. Если бы вы добавили это в ответ, я бы отметил его как принятый ответ.

Ответы (1)

Интеграл, связанный с диффузией частиц

Я нашел альтернативный подход к проблеме, который приведен в статье Википедии о среднеквадратичном смещении . Хотя это не объясняет подход, упомянутый в моем вопросе выше, он показывает альтернативный способ получения конечного результата вычисления, который $\langle x^2 \rangle = 2 D t$ .
Вытяните производную из интеграла. Вы можете сделать это, если ничего другого, кроме $N(x,t)$ под интегралом зависит от $t$ . Поэтому область интегрирования должна быть постоянной во времени. Предположим, что вы можете убрать производную и просто использовать определение $\langle x^2 \rangle$ . И это полная производная в правой части: $\langle x^2 \rangle$ зависит только от $t$ .
@MichaelBrown, так что это в основном ответ, который я искал. Я полностью пропустил то, что вы указали. Если бы вы добавили это в ответ, я бы отметил его как принятый ответ.

Майкл · Answer 1

Поскольку комментарий ответил на ваш вопрос, я просто продолжу и изложу более обобщенную версию. Это просто упростить вещи вплоть до вашего случая. Рассмотрим следующее уравнение неразрывности:

\dot{Н} (Икс, т) "=" - \nabla \cdot \vec{Г} (Икс, т) + С (Икс, т),

$\dot{N}(x,t) = -\nabla\cdot\vec{\Gamma}(x,t) + S(x,t),$

где $\vec{\Gamma}(x,t)$ это поток (в вашем случае $\vec{\Gamma}(x,t)= -D\nabla N(x,t)$ , вы можете легко расширить это) и $S(x,t)$ - это исходный термин, представляющий чистое создание/уничтожение частиц (в вашем случае $S=0$ ). Умножение на $x^n$ и интегрирование:

\int д Икс {Икс}^{н} \dot{Н} (Икс, т) "=" - \int д Икс {Икс}^{н} \nabla \cdot \vec{Г} (Икс, т) + \int д Икс {Икс}^{н} С (Икс, т) .

$\int \mathrm{d}x\ x^n\dot{N}(x,t) = -\int \mathrm{d}x\ x^n\nabla\cdot\vec{\Gamma}(x,t) + \int \mathrm{d}x\ x^nS(x,t).$

Если область интегрирования постоянна:

\int д Икс {Икс}^{н} \dot{Н} (Икс, т) "=" \frac{д}{д т} (Н (т) ⟨ {Икс}^{н} ⟩),

$\int \mathrm{d}x\ x^n\dot{N}(x,t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (N(t)\langle x^n \rangle),$

где $N(t)$ – общее число частиц в области интегрирования. Принимая за область интегрирования все пространство, находим:

\begin{array}{lrcl} н "=" 0 : & \frac{д}{д т} Н (т) & "=" & С (т), \\ н "=" 1 : & \frac{д}{д т} (Н (т) ⟨ Икс ⟩) & "=" & - \int д Икс Икс \nabla \cdot \vec{Г} (Икс, т) + \int д Икс Икс С (Икс, т) "=" \int д Икс Икс С (Икс, т), \end{array}

$\begin{array}{lrcl} n=0: & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} N(t) &=& S(t), \\ n=1: & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (N(t)\langle x \rangle) &=& -\int \mathrm{d}x\ x\nabla\cdot\vec{\Gamma}(x,t) + \int \mathrm{d}x\ x S(x,t) = \int \mathrm{d}x\ x S(x,t), \end{array}$

и т. д. Первое уравнение дает сохранение частиц. Второй можно переставить, используя первый, чтобы дать

\frac{д ⟨ Икс ⟩}{д т} "=" \frac{1}{Н (т)} (\int д Икс Икс С (Икс, т) - С (т) ⟨ Икс ⟩) "=" ⟨ \frac{Икс С (Икс, т)}{Н (Икс, т)} ⟩ - \frac{С (т) ⟨ Икс ⟩}{Н (т)},

$\frac{\mathrm{d}\langle x \rangle }{\mathrm{d}t} = \frac{1}{N(t)} \left(\int \mathrm{d}x\ x S(x,t) - S(t) \langle x \rangle \right) = \langle\frac{x S(x,t)}{N(x,t)}\rangle - \frac{S(t) \langle x \rangle }{N(t)},$

что является центром масс скорости, которая не равна нулю или вообще сохраняется, если есть источник.

Вы можете видеть, что вы получаете башню уравнений моментов, по существу преобразуя уравнение в частных производных в последовательность обыкновенных дифференциальных уравнений. В вашем случае это ничего вам не даст, но в более сложных ситуациях (где вы должны использовать, например, уравнение Больцмана) этот метод необходим для извлечения полезной информации о системе.

Интеграл, связанный с диффузией частиц

себ

себ

Майкл

себ

Ответы (1)

Майкл

Какова вероятность возврата для броуновского движения в трех измерениях?

Диффузия (2 вида) против адвекции (1 вид)

Консервативны ли условия диффузии?

Почему более легкие атомы и молекулы диффундируют вверх?

Подсчет броуновских частиц: точечный процесс

В чем точная разница между диффузией, конвекцией и адвекцией?

Справедливость конститутивных диффузионных потоков

Конвективные и диффузионные члены в уравнениях Навье-Стокса

Время, за которое частица, совершающая броуновское движение, достигает точки в объеме

Связь между 3D и 2D коэффициентами диффузии