Какова вероятность возврата для броуновского движения в трех измерениях?

Для броуновского движения, уравнения Ланжевена, уравнений Фоккера-Планка, случайного процесса... с точки зрения физиков стандартными ссылками являются следующие:

• Броуновское движение: флуктуации, динамика и приложения
• Уравнение Фоккера-Планка: методы решения и приложения
• Справочник по стохастическим методам: для физики, химии и естественных наук
• Уравнение Ланжевена: с приложениями к стохастическим задачам физики, химии и электротехники
• Стохастические процессы в физике и химии

Для свободной частицы, которая выходит из состояния покоя в$t=0$и положение$\mathbf{x}_0$, плотность вероятности найти частицу в положении$\mathbf{x}$вовремя$t$является

$$p(\mathbf{x},t | \mathbf{x}_0, 0) = \frac{1}{(4\pi D t)^{3/2}} e^{-\frac{(\mathbf{x} - \mathbf{x}_0)^2}{4Dt}}$$ где $$D = \frac{k_BT}{6 \pi \eta a}$$ - постоянная диффузии в трех измерениях для частицы радиуса $a$погруженный в жидкость с вязкостью $\eta$при температуре $T$. Плотность вероятности найти частицу в той же точке, из которой она стартовала, т. е. $\mathbf{x} = \mathbf{x}_0$, следовательно является $$p(\mathbf{x}_0,t | \mathbf{x}_0, 0) = \frac{1}{(4\pi D t)^{3/2}}$$

См. также этот вопрос в math.stackexchange