Подсчет броуновских частиц: точечный процесс

Question

Подсчет броуновских частиц: точечный процесс

Физика
распространение
Броуновское движение
точечные частицы
стохастические процессы

ЙорисХ

Представьте себе точечный процесс, определяемый временем прохождения чисто броуновских частиц через заданную точку (в 1D), линию (2D) или плоскость (3D). Меня интересует дисперсия подсчетов (количество частиц, проходящих точки) в зависимости от времени выборки.

В отличие от броуновского движения, я ожидаю, что мой сигнал покажет неисчезающую корреляцию, потому что частица, только что пересекшая точку, имеет высокую вероятность пересечь ее снова. Таким образом, корреляция должна выглядеть как дельта-функция Дирака (классическая для процесса с дискретной точкой) плюс убывающая функция времени.

Однако я немного запутался со способом расчета его аналитически. Я искал в области подсчета фотонов, счетчика Гейгера и газовой динамики, но не нашел явного расчета дисперсии.

У меня было две идеи:

1/ Изучение пространственно-временной корреляционной функции поля броуновских частиц (см., например, Гардинер, Стохастические методы, уравнение 13.3.22):

$G(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}\exp\left(-x^2/(4Dt)\right)$

в 1д. Мы должны иметь: $Var(T)=\lim_{x\rightarrow 0} \int_T\int_T G(x,t) dt dt'$ . Однако последнее выражение трудно вычислить.

2/ Используя вероятность времени возврата к началу броуновского движения (корреляция возникает из-за последовательного прохождения одной и той же частицы)

Любая идея или предложения будут приветствоваться!

АЖК

Вы моделируете физический броуновский процесс? Предел «чистого» броуновского движения (без учета инерции) может быть проблематичным в вашем случае, поскольку вероятность того, что частица вернется, будет зависеть от скорости, с которой она пересекает эту точку. Некоторые из этих проблем проявляются в теории скорости реакции и проблемах времени первого прохождения - см. «Теория скорости реакции: пятьдесят лет после Крамерса» в Rev. Mod. физ.

ЙорисХ

Да, я моделирую физическую БМ. На самом деле это даже не БМ, так как частицы имеют порядок см. Тем не менее их перемещение может быть хорошо описано коррелированным случайным блужданием в пространстве и времени. Это правда, что корреляция скоростей является проблемой на короткое время, я посмотрю вашу ссылку. Большое спасибо за это!

Ответы (2)

Подсчет броуновских частиц: точечный процесс

Вы моделируете физический броуновский процесс? Предел «чистого» броуновского движения (без учета инерции) может быть проблематичным в вашем случае, поскольку вероятность того, что частица вернется, будет зависеть от скорости, с которой она пересекает эту точку. Некоторые из этих проблем проявляются в теории скорости реакции и проблемах времени первого прохождения - см. «Теория скорости реакции: пятьдесят лет после Крамерса» в Rev. Mod. физ.
Да, я моделирую физическую БМ. На самом деле это даже не БМ, так как частицы имеют порядок см. Тем не менее их перемещение может быть хорошо описано коррелированным случайным блужданием в пространстве и времени. Это правда, что корреляция скоростей является проблемой на короткое время, я посмотрю вашу ссылку. Большое спасибо за это!

Том-Том · Answer 1

Величина, с которой вы имеете дело, — это локальное время броуновского движения в одной точке. Работать с местным временем довольно сложно.

То, что вы хотите вычислить, - это распределение количества

\begin{matrix} (1) & λ ({\vec{р}}_{0}) "=" \int_{0}^{т} {дельта}^{(г)} ({\vec{р}}_{0} - {\vec{Б}}_{ты}) г ты . \end{matrix}

$\lambda(\vec r_0)=\int_0^t\delta^{(d)}\left(\vec r_0-\vec B_u\right)\mathrm du.\tag{1}$ Обратите внимание, что

λ

$\lambda$ есть пространственная плотность времени, она имеет размерность

[L^{- d} T]

$[L^{-d}T]$ , где

d

$d$ является размерностью пространства.

Сначала вычислите характеристическую функцию броуновского движения, начиная с $\vec r=0$ , вовремя $t>0$

\begin{matrix} (2) & ф (\vec{д}, т) "=" ⟨ опыт [я \vec{д} \cdot {\vec{Б}}_{т}] ⟩ "=" \int е^{я \vec{д} \cdot \vec{р}} \frac{е^{- {\vec{р}}^{2} / 4 Д т}}{{(4 π Д т)}^{г / 2}} г \vec{р} "=" \frac{е^{- Д т {\vec{д}}^{2}}}{{(4 π Д т)}^{г / 2}} . \end{matrix}

$\phi(\vec q,t)=\left\langle\exp\left[\mathrm i\vec q\cdot\vec B_t\right]\right\rangle= \int\mathrm e^{\mathrm i\vec q\cdot \vec r}\frac{\mathrm e^{-\vec r^2/4Dt}}{\left(4\pi Dt\right)^{d/2}}\mathrm d\vec r=\frac{\mathrm e^{-Dt\vec q^2}}{\left(4\pi Dt\right)^{d/2}}.\tag{2}$

Теперь преобразуем дельта-функцию в (1) в интеграл Фурье благодаря уравнению (2) и вычисляем среднее значение $\lambda(\vec r_0)$

⟨ λ ({\vec{р}}_{0}) ⟩ "=" ⟨ \int_{0}^{т} \int \frac{г \vec{д}}{(2 π)^{г}} е^{- я \vec{д} \cdot ({\vec{р}}_{0} - {\vec{Б}}_{ты})} г ты ⟩ "=" \int_{0}^{т} \int \frac{г \vec{д}}{(2 π)^{г}} е^{- я \vec{д} \cdot {\vec{р}}_{0}} ф (\vec{д}, ты) г ты .

$\left\langle\lambda(\vec r_0)\right\rangle=\left\langle\int_0^t\int\frac{\mathrm d\vec q}{(2\pi)^d}\mathrm e^{-\mathrm i\vec q\cdot(\vec r_0-\vec B_u)}\mathrm du\right\rangle =\int_0^t\int\frac{\mathrm d\vec q}{(2\pi)^d}\mathrm e^{-\mathrm i\vec q\cdot \vec r_0}\phi(\vec q,u)\mathrm du.$ Таким образом, среднее значение

⟨ λ ({\vec{р}}_{0}) ⟩ "=" \int_{0}^{т} \frac{е^{- {\vec{р}}_{0}^{2} / 4 Д ты}}{{(4 π Д ты)}^{г / 2}} г ты .

$\left\langle\lambda(\vec r_0)\right\rangle =\int_0^t\frac{\mathrm e^{-\vec r_0^2/4Du}}{\left(4\pi Du\right)^{d/2}}\mathrm du.$

Есть точные результаты в одном, двух и трех измерениях для среднего.

В одном измерении мы имеем

⟨ λ ({\vec{р}}_{0}) ⟩ "=" \sqrt{\frac{т}{π Д}} е^{- {\vec{р}}_{0}^{2} / 4 Д т} - \frac{| {\vec{р}}_{0} |}{2 Д} е р ф с (\frac{| {\vec{р}}_{0} |}{2 \sqrt{Д т}});

$\left\langle\lambda(\vec r_0)\right\rangle=\sqrt{\frac t{\pi D}}\mathrm e^{-\vec r_0^2/4Dt}-\frac{|\vec r_0|}{2D}\mathrm{erfc}\left(\frac{|\vec r_0|}{2\sqrt{Dt}}\right);$

в двух измерениях

⟨ λ ({\vec{р}}_{0}) ⟩ "=" \frac{1}{4 π Д} Г (0, \frac{{\vec{р}}_{0}^{2}}{4 Д т})

$\left\langle\lambda(\vec r_0)\right\rangle=\frac1{4\pi D}\Gamma\left(0,\frac{\vec r_0^2}{4Dt}\right)$ (

Γ

$\Gamma$ — неполная гамма-функция) и в трех измерениях

⟨ λ ({\vec{р}}_{0}) ⟩ "=" \frac{1}{4 π Д | {\vec{р}}_{0} |} е р ф с (\frac{| {\vec{р}}_{0} |}{2 \sqrt{Д т}})

$\left\langle\lambda(\vec r_0)\right\rangle=\frac{1}{4\pi D|\vec r_0|}\mathrm{erfc}\left(\frac{|\vec r_0|}{2\sqrt{Dt}}\right)$

Я использовал тот же метод в недавней статье для броуновского моста.

Вычислить $\left\langle\lambda(\vec r_0)^2\right\rangle$ использовать ту же технику вычислений (также описанную в статье). Вам нужно оценить

\int_{0}^{т} г ты \int_{0}^{т - ты} г {ты}^{'} \int \frac{г \vec{д}}{(2 π)^{г}} \frac{г {\vec{д}}^{'}}{(2 π)^{г}} е^{- я \vec{д} \cdot {\vec{р}}_{0}} ф (\vec{д}, ты) ф ({\vec{д}}^{'}, {ты}^{'}) .

$\int_0^t\mathrm du\int_0^{t-u}\mathrm du'\int\frac{\mathrm d\vec q}{(2\pi)^d}\frac{\mathrm d\vec q'}{(2\pi)^d} \mathrm e^{-\mathrm i\vec q\cdot \vec r_0}\phi(\vec q,u)\phi(\vec q',u').$

Но распределение, которое вы ищете, не определено в размерах больше единицы: необходима длина регуляризации. Это следует из свойств броуновского движения.

В случае броуанского уравнения (случай, изучаемый в статье) после его регуляризации распределение становится таким, как вы сказали: существует $\delta$ -функция плюс убывающая функция с расстоянием. В трех измерениях убывающая функция представляет собой простую экспоненту.

Тримок · Answer 2

Возможно, можно рассмотреть поток вероятностей. В основе моделирования броуновского движения или уравнения теплопроводности лежит уравнение сохранения $\frac{\partial \rho}{\partial t} + div \vec j = 0$

Здесь $\rho(x,t)$ следует рассматривать как плотность вероятности и $\vec j(x,t)$ как поток вероятностей.

Тогда, предположив простое соотношение $\vec j = - D\vec \nabla \rho$ , получаем обычное уравнение «тепловыделения»: $\frac{\partial \rho}{\partial t} - D \nabla^2 \rho = 0$ , с ядром $G(x,t)$ .

Так $\vec j(x,t)$ может быть количество, в котором вы заинтересованы. Если это так, приведенные выше соотношения позволяют получить его просто из плотности вероятности $\rho(x,t)$

Спасибо за ваше предложение Тримок! Боюсь, использование макроскопического закона сохранения и потока вероятностей не очень поможет в описании микроскопических флуктуаций (могу ошибаться). Взяв дисперсию числа частиц в ячейке размером $L$ является пуассоновским для чистой диффузии (среднее значение = дисперсия) независимо от размера ячейки. Это можно легко показать с помощью представления Пуассона (из книги Гардинера). Я пробую аналогичный метод для дисперсии количества частиц во времени, проходящих через плоскость. Я чувствую, что это должно иметь вид Var(T)=Mean $+f(T)$ , где $f(T)$ исходит из соотношений

Подсчет броуновских частиц: точечный процесс

ЙорисХ

АЖК

ЙорисХ

Ответы (2)

Том-Том

Тримок

ЙорисХ

Коэффициент диффузии для асимметричного (смещенного) случайного блуждания

Стохастический процесс, порождающий дробную диффузию

Уравнение Фоккера-Планка для передемпфированного движения: как определить среднюю скорость

Двухмерная диффузия на поверхности: коэффициент диффузии и поверхностное трение.

Эвристика, стоящая за дельта-функцией Дирака в основном уравнении для вероятности?

Вывод уравнения диффузии из уравнения Фоккера-Планка

Разница между «случайным движением» и «броуновским движением»?

Перенормировка и броуновское движение

Белый шум и преобразование Фурье

Как добавить члены Ланжевена в полуклассическую модель Боуза-Хаббарда?