Интегралы пути Средненицкого: амплитуда перехода от основного состояния к основному состоянию при наличии возмущения

Question

Интегралы пути Средненицкого: амплитуда перехода от основного состояния к основному состоянию при наличии возмущения

Физика
интеграл по путям
статистическая сумма
теория возмущений
квантовая теория поля
функциональные производные

Джунаид Афтаб

Квантовая теория поля Средненицкого упоминает следующее в конце раздела об интегралах по путям в нерелятивистской квантовой механике:

Предположим, что полный гамильтониан имеет вид

$ЧАС "=" {ЧАС}_{0} + {ЧАС}_{1},$ $H = H_0 + H_1,$

где $H_0$ является точно решаемой частью и $H_1$ трактуется как возмущение.

Без учета возмущения амплитуда перехода основного состояния t0 в основное состояние при наличии внешних сил/классических источников равна:

$\begin{matrix} (6.21) & ⟨ 0 | 0 ⟩_{ф, час} "=" \int Д п Д д опыт [я \int_{- \infty}^{\infty} г т (п \dot{д} - (1 - я ϵ) {ЧАС}_{0} + ф д + час п] . \end{matrix}$ $\langle 0 | 0 \rangle_{f,h} = \int \mathcal{D}p \; \mathcal{D}q \; \exp \Bigg [i \int_{-\infty}^{\infty} dt \; (p\dot{q} - (1- i\epsilon)H_{0} + fq + h p \Bigg ]. \tag{6.21}$

При наличии возмущения амплитуда теперь определяется выражением:

Вопросы:

1) Чтобы получить уравнение $(6.22)$ , как мы можем взять экспоненту внутри интеграла, сделать необходимые манипуляции и затем взять экспоненту вне интеграла. Мне это кажется очень случайным. Как и когда мы узнаем, что эти шаги действительны? Разве это не требует обоснования со стороны математического анализа?

2) Что еще более важно, я не получаю первый член, связанный с возмущающим гамильтонианом. Почему у нас есть функциональные производные в его аргументе? Как это оказалось? Почему мы также не имеем функциональных производных в аргументе $H_0$ также? В чем разница?

Примечание: коэффициент $(1 - i \epsilon)$ был подавлен в $(6.22)$ .

Ответы (1)

Интегралы пути Средненицкого: амплитуда перехода от основного состояния к основному состоянию при наличии возмущения

Qмеханик · Answer 1

Прежде всего отметим, что общее математически строгое определение функциональных интегралов является известной открытой проблемой математики. Один путь состоит в том, чтобы попытаться построить функциональный интеграл как подходящий континуальный предел решетчатой модели по дискретизированному пространству-времени. $M$ .
Если мы для простоты запишем координаты фазового пространства вместе как $z^I:=\{q^i; p_i\}$ ; источники как $j_I:=\{f_i; h^i\}$ ; и действие
$\begin{matrix} (А) & \begin{aligned} С [г] "=" & С_{0} [г] + С_{1} [г], \\ С_{0} [г] "=" & \int_{р} г т (п_{я} {\dot{д}}^{я} - {ЧАС}_{0}), \\ С_{1} [г] "=" & - \int_{р} г т {ЧАС}_{1}; \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}S[z]~=~&S_0[z]+S_1[z], \cr S_0[z]~=~& \int_{\mathbb{R}} \! dt \left(p_i\dot{q}^i - H_0\right), \cr S_1[z]~=~& -\int_{\mathbb{R}} \! dt~H_1; \end{align}\tag{A}$ тогда мы можем формально написать уравнения. (6.21) и (6.22) как $\begin{aligned} (6.21) & Z [Дж] "=" & \int Д г е^{\frac{я}{ℏ} С_{0} [г]} опыт {\frac{я}{ℏ} С_{1} [г]} опыт {\frac{я}{ℏ} \int_{р} г т {Дж}_{я} г^{я}} \\ "=" & \int Д г е^{\frac{я}{ℏ} С_{0} [г]} опыт {\frac{я}{ℏ} С_{1} [\frac{ℏ}{я} \frac{дельта}{дельта Дж}]} опыт {\frac{я}{ℏ} \int_{р} г т {Дж}_{я} г^{я}} \\ (6.22) & "=" & опыт {\frac{я}{ℏ} С_{1} [\frac{ℏ}{я} \frac{дельта}{дельта Дж}]} \int Д г е^{\frac{я}{ℏ} С_{0} [г]} опыт {\frac{я}{ℏ} \int_{р} г т {Дж}_{я} г^{я}} . \end{aligned}$ $\begin{align} Z[j]~=~&\int \!{\cal D}z~e^{\frac{i}{\hbar}S_0[z]} \exp\left\{ \frac{i}{\hbar} S_1[z]\right\} \exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \int_{\mathbb{R}} \! dt ~j_I z^I \right\} \tag {6.21} \cr ~=~& \int \!{\cal D}z~e^{\frac{i}{\hbar}S_0[z]} \exp\left\{ \frac{i}{\hbar} S_1\left[\frac{\hbar}{i}\frac{\delta}{\delta j}\right]\right\} \exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \int_{\mathbb{R}} \! dt ~j_I z^I \right\} \cr ~=~&\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} S_1\left[\frac{\hbar}{i}\frac{\delta}{\delta j}\right]\right\} \int \!{\cal D}z~e^{\frac{i}{\hbar}S_0[z]} \exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \int_{\mathbb{R}} \! dt ~j_I z^I \right\}.\tag {6.22}\end{align}$ На последнем шаге мы подтянули множитель (который не зависит от функциональной интегральной переменной $z^I$ ) вне функционального интеграла.
Причина появления функциональных производных связана с бесконечным числом степеней свободы в теории поля. Функциональные производные сами по себе являются огромной темой. Здесь мы только упомянем, что функциональные производные становятся частными производными, если мы перейдем к дискретной/решеточной модели. Например, на шаге от ур. (6.21) к уравнению В (6.22) используется функциональное обобщение элементарной формулы
$\begin{matrix} (Б) & ф (\frac{ℏ}{я} \frac{\partial}{\partial Дж}) е^{\frac{я}{ℏ} {Дж}_{я} г^{я}} "=" ф (г) е^{\frac{я}{ℏ} {Дж}_{я} г^{я}}, \end{matrix}$ $f\left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial j} \right)e^{\frac{i}{\hbar} j_Iz^I} ~=~ f(z)e^{\frac{i}{\hbar} j_Iz^I} ,\tag{B}$ справедливо для подходящих приятных функций $f$ . В качестве альтернативы шаг можно рассматривать как обобщение $\begin{matrix} (С) & \begin{aligned} \frac{ℏ}{я} \frac{дельта}{дельта {Дж}_{я} (т)} опыт {\frac{я}{ℏ} \int_{р} г т^{'} {Дж}_{Дж} (т^{'}) г^{Дж} (т^{'})} \\ "=" & г^{я} (т) опыт {\frac{я}{ℏ} \int_{р} г т^{'} {Дж}_{Дж} (т^{'}) г^{Дж} (т^{'})} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}& \frac{\hbar}{i}\frac{\delta}{\delta j_I(t)} \exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \int_{\mathbb{R}} \! dt^{\prime} ~j_J(t^{\prime}) z^J(t^{\prime}) \right\}\cr ~=~&z^I(t)\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \int_{\mathbb{R}} \! dt^{\prime} ~j_J(t^{\prime}) z^J(t^{\prime}) \right\} .\end{align}\tag{C}$ См. также соответствующий пост Phys.SE.

Интегралы пути Средненицкого: амплитуда перехода от основного состояния к основному состоянию при наличии возмущения

Джунаид Афтаб

Ответы (1)

Qмеханик

Когда теория возмущений КТП перестает быть справедливой?

Доказательство связанных диаграмм

Определитель оператора Даламбера □−m2◻−m2\mathop\Box-m^{2}

Функциональная производная для одной и той же функции, выраженная до и после поворота Вика

Есть ли какой-либо смысл в интеграле по путям интегралов по путям?

Зачем нужно эффективное действие ΓΓ\Gamma при связном производящем функционале WWW?

Как рассчитать гауссовский интеграл по путям TQFT из «забавы с теорией свободного поля» Зайберга?

Как интегрировать пути по полупрямой?

Двухточечный зеленый для свободных полей Дирака

Почему бесщелевые моды одинаковы как в квантовой, так и в статистической теории поля?