Как интегрировать пути по полупрямой?

Question

Как интегрировать пути по полупрямой?

Физика
интеграл по путям
невозмущающий
теория возмущений
квантовая теория поля

СлучайныйПреобразование Фурье

Рассмотрим интеграл по путям по скалярному полю $\varphi$ :

Z "=" \int_{С} е^{я С [ф]} д ф

$Z=\int_{\mathcal S}\ \mathrm e^{iS[\varphi]}\mathrm d\varphi$ где

S

$\mathcal S$ есть некоторое функциональное пространство (скажем, Шварца или двойственное ему).

Как мы можем реализовать условие $\varphi\ge0$ ? какое влияние оказывает это ограничение как на пертурбативном, так и на непертурбативном уровне?

Обратите внимание, что это не просто вопрос «из любопытства». Описанная выше ситуация имеет место на практике (в простейшем ее проявлении, в механизме Хиггса, где мы разлагаем $H(x)=\rho(x)\ \mathrm e^{i\sigma(x)}$ ; здесь интеграл по $\rho$ находится только за полулинией $\rho\ge0$ ).

Квантовая спагеттификация

Не могли бы вы вставить в интеграл функциональную дельта-функцию или ступенчатую функцию Хевисайда. Я видел нечто подобное для интегралов по путям на многообразиях в статистической физике.

СлучайныйПреобразование Фурье

@Quantumspaghettification дельта-функция выберет

φ \equiv 0

$\varphi\equiv0$ , так что я не думаю, что это сработает. Хевисайд, с другой стороны, выбирает

φ \geq 0

$\varphi\ge0$ , так что это хорошо. я не знаю как повернуть

Θ (φ)

$\Theta(\varphi)$ хотя во что-то управляемое. В любом случае, это пища для размышлений, так что спасибо!

Квантовая спагеттификация

Опять же, исходя из того, что я знаю из статистической физики - вы можете написать Хевисайда в терминах его интегрального представления, которое, как я полагаю, может быть обобщено на функциональный случай.

Адам

В теории возмущений обычно работает случай, когда

⟨ ρ ⟩ \neq 0

$\langle\rho\rangle\neq 0$ (скажем, в упорядоченной/неисчезающей фазе vev) и расширяется

ρ = ⟨ ρ ⟩ + δ ρ

$\rho=\langle\rho\rangle+\delta \rho$ . Тогда интеграл по

δ ρ

$\delta \rho$ не ограничено (что обычно хорошо).

СлучайныйПреобразование Фурье

@ Адам, конечно, в простом случае, когда процесс SSB запускается одним скалярным полем, вы правы. Но в некоторых случаях, когда у вас есть несколько скалярных полей, только некоторые компоненты приобретают ненулевое значение vev. Остальные нет, и в этом случае колебания в соответствующем направлении должны быть положительными.

Адам

Когда не в упорядоченной фазе, обычно не используют эту формулировку фазы амплитуды именно потому, что нелегко позаботиться об ограничении. Обратите внимание, что вы также можете использовать смешанную рецептуру, в зависимости от компонента, в принципе (хотя я не знаю, делается ли это на практике).

Qмеханик

Другие идеи, чтобы написать

ρ

$\rho$ как, скажем,

ρ = ϕ^{2}

$\rho= \phi^2$ или

ρ = e^{ϕ}

$\rho=e^{\phi}$ , где

ϕ \in R

$\phi\in\mathbb{R}$ .

Слереа

Как насчет того, чтобы сделать это вручную из предельного определения интеграла, если это возможно?

Ответы (1)

Как интегрировать пути по полупрямой?

Не могли бы вы вставить в интеграл функциональную дельта-функцию или ступенчатую функцию Хевисайда. Я видел нечто подобное для интегралов по путям на многообразиях в статистической физике.
@Quantumspaghettification дельта-функция выберет $\varphi\equiv0$ , так что я не думаю, что это сработает. Хевисайд, с другой стороны, выбирает $\varphi\ge0$ , так что это хорошо. я не знаю как повернуть $\Theta(\varphi)$ хотя во что-то управляемое. В любом случае, это пища для размышлений, так что спасибо!
Опять же, исходя из того, что я знаю из статистической физики - вы можете написать Хевисайда в терминах его интегрального представления, которое, как я полагаю, может быть обобщено на функциональный случай.
В теории возмущений обычно работает случай, когда $\langle\rho\rangle\neq 0$ (скажем, в упорядоченной/неисчезающей фазе vev) и расширяется $\rho=\langle\rho\rangle+\delta \rho$ . Тогда интеграл по $\delta \rho$ не ограничено (что обычно хорошо).
@ Адам, конечно, в простом случае, когда процесс SSB запускается одним скалярным полем, вы правы. Но в некоторых случаях, когда у вас есть несколько скалярных полей, только некоторые компоненты приобретают ненулевое значение vev. Остальные нет, и в этом случае колебания в соответствующем направлении должны быть положительными.
Когда не в упорядоченной фазе, обычно не используют эту формулировку фазы амплитуды именно потому, что нелегко позаботиться об ограничении. Обратите внимание, что вы также можете использовать смешанную рецептуру, в зависимости от компонента, в принципе (хотя я не знаю, делается ли это на практике).
Другие идеи, чтобы написать $\rho$ как, скажем, $\rho= \phi^2$ или $\rho=e^{\phi}$ , где $\phi\in\mathbb{R}$ .
Как насчет того, чтобы сделать это вручную из предельного определения интеграла, если это возможно?

Давид Бар Моше · Answer 1

Для свободной частицы на полупрямой требование, чтобы гамильтониан:

ЧАС "=" \frac{п^{2}}{2 м}

$H = \frac{p^2}{2m}$

является самосопряженным

(ψ, ЧАС ф) "=" (ЧАС ψ, ф) "=" ф (0) \frac{д ψ}{д Икс} (0) - ψ (0) \frac{д ф}{д Икс} (0)

$(\psi ,H \phi) = (H\psi , \phi) = \phi(0) \frac{d\psi}{dx}(0)-\psi(0) \frac{d\phi}{dx}(0)$

(это условие означает отсутствие вероятности пересечения тока $x=0$ ), приводит к семейству самосопряженных расширений, характеризуемых граничными условиями:

ψ (0) "=" γ \frac{д ψ}{д Икс} (0)

$\psi(0) = \gamma \frac{d\psi}{dx}(0)$

Пропагатор общего решения уравнения Шредингера с этим граничным условием определяется выражением:

г ({Икс}_{1}, {Икс}_{2}) "=" г_{0} ({Икс}_{2} - {Икс}_{1}) + г_{0} ({Икс}_{2} + {Икс}_{1}) - 2 γ \int_{0}^{\infty} д λ е^{- γ λ} г_{0} ({Икс}_{2} + {Икс}_{1} + λ)

$G(x_1, x_2) = G_0(x_2-x_1)+G_0(x_2+x_1) - 2 \gamma \int_0^{\infty}d\lambda e^{-\gamma \lambda} G_0(x_2+x_1+\lambda)$

( $G_0$ — свободный неограниченный пропагатор; Пожалуйста, смотрите Гамбоа )

И Кларк, и Меникофф, и Шарп , и Фахри, и Гутманн

показали, что этот пропагатор может быть получен из квантования интеграла по путям свободного действия с дельта-потенциалом в начале координат для путей, идущих от $-\infty$ к $+\infty$ .

л "=" \frac{м {\dot{Икс}}^{2}}{2} + γ дельта (Икс)

$L = \frac{m \dot{x}^2}{2} + \gamma \delta(x)$

Однако это не единственный способ квантования движения на полупрямой:

Isham определил схему квантования, основанную на каноническом преобразовании:

(Икс, п) \to (е^{Икс}, е^{- Икс} п)

$(x, p) \rightarrow (e^x, e^{-x}p)$

Другая схема квантования основана на квантизации $\mathbb{R}^+$ как частное пространство: см. Танимура

р^{+} "=" р^{2} / С О (2),

$\mathbb{R}^+ = \mathbb{R}^2/SO(2),$

Этот метод приводит к другому семейству гамильтонианов:

Я не знаю какой-либо интегральной формулировки последних двух методов. Ясно, что последний способ приводит к неэквивалентным квантованиям по отношению к первому. Я вполне уверен, что оба метода могут быть объединены в единый метод, включающий оба семейства квантований.

Как интегрировать пути по полупрямой?

СлучайныйПреобразование Фурье

Квантовая спагеттификация

СлучайныйПреобразование Фурье

Квантовая спагеттификация

Адам

СлучайныйПреобразование Фурье

Адам

Qмеханик

Слереа

Ответы (1)

Давид Бар Моше

Когда теория возмущений КТП перестает быть справедливой?

Математическое доказательство того, что exp(−1/|g|)exp⁡(−1/|g|)\exp(-1/|g|) всегда связано с образованием связанных состояний через шкалы?

Можем ли мы получить полную непертурбативную информацию о взаимодействующей системе, вычислив возмущение всех порядков?

Что означает непертурбативная теория?

Как выглядят инстантоны в реальном времени/пространстве-времени?

Понимание типичных непертурбативных вычислений в КТП [закрыто]

Действительно ли КЭД ломается на полюсе Ландау?

Почему мы должны суммировать разложения вокруг всех стационарных точек действия?

Что такое непертурбативные эффекты и как с ними справляться?

Существует ли квантовая теория поля непертурбативно или пертурбация присуща ее Природе?