Есть ли какой-либо смысл в интеграле по путям интегралов по путям?

Обратите внимание, что даже в традиционных интегралах по путям по полям$\mathcal{D}\phi$бессмысленно. Меры Лебега над бесконечномерными пространствами не существует. Так$\mathcal{D}S$также должно быть бессмысленным. Можно определить (полевые) интегралы по траекториям как честные интегралы по вероятностной мере, а именно, обосновать уравнение типа

$$\frac{\int \mathcal{D}\phi\ F(\phi)e^{-S(\phi)}}{\int \mathcal{D}\phi\ e^{-S(\phi)}}\ =\ \int_{S'(\mathbb{R}^d)} d\mu(\phi) \ F(\phi)\ .$$ Здесь $\mu$должно быть борелевской вероятностной мерой в пространстве умеренных распределений Шварца на $d$-мерное пространство-время, где поля $\phi$жить. В вашем случае сначала нужно подходящее место $W$тест-функционалов на скажем $S'(\mathbb{R}^d)$, а затем вы можете попытаться построить интегралы по путям, используя борелевские вероятностные меры на $W'$. Для этого вам нужно $W$иметь хорошие свойства, такие как ядерность и Фреше. Сложность заключается в отсутствии явных примеров. Есть примеры в области теории вероятностей, называемой «исчислением белого шума» (см. ключевые слова, такие как тройка Кондратьева, распределение Хида). Но я не знаю, возникают ли естественно где-либо те (функциональные) интегралы по траекториям, о которых вы думаете.