Когда теория возмущений КТП перестает быть справедливой?

Когда мы познакомились с концепцией теории возмущений в квантовой механике, мы разделили гамильтониан$H= H_0 + \delta H$где$\delta H$в некотором роде мал, т.е. если сказать$\epsilon$– релевантная безразмерная связь, связанная с$\delta H$тогда мы ожидаем$\epsilon \ll 1$.

В QFT идея кажется несколько иной. В подходе интеграла по путям мы расширяем функционал статистической суммы как формальный степенной ряд в$\hbar$. Выражая взаимодействующий производящий функционал как асимптотический ряд свободного производящего функционала, мы получаем степенной ряд в$\hbar$с нулевым радиусом сходимости (по определению асимптотического ряда). Мы можем показать, что производящий функционал может быть хорошо аппроксимирован с помощью методов пересуммирования или просто путем усечения асимптотического ряда в подходящей точке, несмотря на то, что он расходится как степенной ряд в$hbar$.

Имея это в виду, рассмотрим лагранжиан, записанный в терминах безразмерных связей$\{g_i(\mu)\}$что будет функцией произвольной нормативной шкалы масс$\mu$.

Для справедливости теории возмущений$\{g_i(\mu)\}$должно быть меньше 1, как и для любых соответствующих безразмерных масштабов в теории возмущений КМ? Тот факт, что асимптотический ряд имеет нулевой радиус сходимости независимо от значений$\{g_i(\mu)\}$заставляет меня думать, что на самом деле нам не нужно, чтобы связи были маленькими (поскольку связи никогда не могут быть достаточно малыми, чтобы статистическая сумма «фактически сходилась»).

На эту мысль меня натолкнули конспекты моих университетских лекций. В КХД мы вычисляем бета-функцию в ведущем порядке. Интегрируем бета-функцию и получаем результат

с$\alpha_s = g^2 / 4 \pi$и$\beta_0 >0$

Это все хорошо, но потом мой профессор говорит, что мы думаем о масштабе$\Lambda_\text{QCD}$(масштаб расходимости константы связи) как границу между пертурбативной и непертурбативной КХД. Мне показалось странным, что мы будем говорить об этом результате$\alpha_s(\mu) > 1$, не говоря уже о масштабе, где выражение полностью расходится. Это заставило меня задаться вопросом, когда теория возмущений действительно верна. Так что главный вопрос в том$\{g_i(\mu)\}$должно быть <1, чтобы пертурбативный метод был действителен? Если нет, то я думаю, мы просто не хотим, чтобы муфты расходились?