Интегрирование элементов группы Ли по параметрам соответствующей алгебры Ли

Question

Интегрирование элементов группы Ли по параметрам соответствующей алгебры Ли

Мистер МюллерМаэстро

Я работаю с оператором $\textbf{M}$ это представлено группой Ли SO (1,3), поэтому его можно записать как

М "=" опыт л

$\textbf{M} = \exp{\textbf{L}}$ где,

л "=" [\begin{matrix} 0 & а & б & с \\ а & 0 & г & е \\ б & - г & 0 & ф \\ с & - е & - ф & 0 \end{matrix}] .

$\textbf{L} = \begin{bmatrix} 0&a&b&c\\ a&0&d&e\\ b&-d&0&f\\ c&-e&-f&0 \end{bmatrix}.$ мне нужно интегрировать

M

$\textbf{M}$ по одному или нескольким параметрам

L

$\textbf{L}$ , например,

Б "=" \int_{0}^{Т} М г а

$\textbf{B}=\int_{0}^{T}\textbf{M}\,da$ является интегралом

M

$\textbf{M}$ по дифференциальному параметру

a

$a$ . Эта интеграция может быть выполнена покомпонентно, как,

Б_{я, Дж} "=" \int_{0}^{Т} М_{я, Дж} г а

$B_{i,j}=\int_{0}^{T}M_{i,j}\,da$ Но аналитическая форма

M

$\textbf{M}$ очень громоздка для работы, когда все параметры

L

$\textbf{L}$ не равны нулю. Мне очень трудно получить аналитические решения для элементов

B

$\textbf{B}$ с точки зрения элементов

L

$\textbf{L}$ . Можно ли выполнить интегрирование на алгебре Ли перед экспоненциальным отображением? Или есть какие-то упрощения, вытекающие из знания групповой симметрии? Я долго искал, но не нашел, как написать интеграцию в терминах

L

$\textbf{L}$ напрямую.

Мартин Юдинг

Выполнение этого покомпонентно может упростить интеграцию, но я не думаю, что есть прямой способ вывести компоненты из экспоненциальной карты. Находятся ли параметры таким образом, что определенная мощность

L

$L$ становится легче? Тогда может оказаться целесообразным разложение экспоненты (это для

S U (2)

$\mathrm{SU}(2)$ с

σ_{1}

$\sigma_1$ например).

Майк

Я не понимаю интеграл. Являются

b

$b$ ,

c

$c$ ,

d

$d$ ,

e

$e$ ,

f

$f$ даны как функции

a

$a$ ? Являются ли они постоянными относительно

a

$a$ ? И прав ли AccFoTr, утверждая, что это группа Ли с одним параметром? (В частности, действительно ли это гомоморфизм?)

Майк

Кстати, я как раз собираюсь опубликовать в arxiv статью об интеграции в группу.

S O (3)

$\mathrm{SO}(3)$ , где один из методов, который я применяю, состоит в том, чтобы сопоставить его обратно с интегрированием в алгебре

s o (3)

$\mathfrak{so}(3)$ . Я также говорю об обобщениях для других групп, но я не уверен (в зависимости от ваших ответов на мои вопросы выше), что это поможет, если вы ищете аналитические результаты.

Qмеханик

Вторя комментарию @Mike выше: если

b

$b$ ,

c

$c$ ,

d

$d$ ,

e

$e$ ,

f

$f$ константы, не зависящие от переменной интегрирования

a

$a$ , то интеграл ОП имеет вид

\int_{0}^{T} d a \exp [L_{0} + a L_{1}]

$\int_0^T \! da \exp\left[\textbf{L}_0 + a \textbf{L}_1 \right]$ , где два

a

$a$ -независимые постоянные матрицы

L_{0}

$\textbf{L}_0$ и

L_{1}

$\textbf{L}_1$ вообще не коммутируют, поэтому в общем случае не следует ожидать простой формулы .

СлучайныйПреобразование Фурье

@Майк, я понятия не имею, о чем я думал! для фиксированного

b, c, d, e, f

$b,c,d,e,f$ , SO(1,3) не является однопараметрической группой относительно

a

$a$ . Мой ответ был явно неверным! [например, обратите внимание, что образующие даже необратимы, поэтому

ϕ^{' - 1} (0)

$\phi'^{-1}(0)$ не определен...]

Ответы (1)

Интегрирование элементов группы Ли по параметрам соответствующей алгебры Ли

Выполнение этого покомпонентно может упростить интеграцию, но я не думаю, что есть прямой способ вывести компоненты из экспоненциальной карты. Находятся ли параметры таким образом, что определенная мощность $L$ становится легче? Тогда может оказаться целесообразным разложение экспоненты (это для $\mathrm{SU}(2)$ с $\sigma_1$ например).
Я не понимаю интеграл. Являются $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ даны как функции $a$ ? Являются ли они постоянными относительно $a$ ? И прав ли AccFoTr, утверждая, что это группа Ли с одним параметром? (В частности, действительно ли это гомоморфизм?)
Кстати, я как раз собираюсь опубликовать в arxiv статью об интеграции в группу. $\mathrm{SO}(3)$ , где один из методов, который я применяю, состоит в том, чтобы сопоставить его обратно с интегрированием в алгебре $\mathfrak{so}(3)$ . Я также говорю об обобщениях для других групп, но я не уверен (в зависимости от ваших ответов на мои вопросы выше), что это поможет, если вы ищете аналитические результаты.
Вторя комментарию @Mike выше: если $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ константы, не зависящие от переменной интегрирования $a$ , то интеграл ОП имеет вид $\int_0^T \! da \exp\left[\textbf{L}_0 + a \textbf{L}_1 \right]$ , где два $a$ -независимые постоянные матрицы $\textbf{L}_0$ и $\textbf{L}_1$ вообще не коммутируют, поэтому в общем случае не следует ожидать простой формулы .
@Майк, я понятия не имею, о чем я думал! для фиксированного $b,c,d,e,f$ , SO(1,3) не является однопараметрической группой относительно $a$ . Мой ответ был явно неверным! [например, обратите внимание, что образующие даже необратимы, поэтому $\phi'^{-1}(0)$ не определен...]

Космас Захос · Answer 1

Приносим свои извинения за то, что не дали самый общий ответ для произвольных групп Ли (которые вы могли бы с большим трудом дразнить из WP ), а только карту пути для вашей конкретной (очаровательной!) проблемы.

Я называю его очарованным, потому что он должен напоминать вам о группе Лоренца, где a, b, c параметризуют усиления Kx, Ky, Kz , а d, e, f — три угла поворота J. Достойная обработка представлений группы Лоренца для начала напомнит вам, что вы можете взять линейные комбинации K и J , которые коммутируют друг с другом, и тогда ваша экспонента на самом деле является прямым произведением двух экспонент, $\exp({\bf \theta \cdot A}) \otimes \exp ({\bf \phi \cdot B})$ каждый в сложном повторении 2x2, с ужасными сложными углами θ и φ , на которые вы должны сопоставить свои 6 углов. Однако, как только вы это сделаете, поскольку экспоненциальные матрицы Паули имеют стандартную разрешающую способность, линейную по матрицам Паули , ваш интеграл можно представить в виде прямого произведения экспонент, откуда, действуя в обратном порядке, как экспоненциальную матрицы 4x4, если это необходимо.

Это может быть много работы, но это просто. (Попробуйте сначала убрать все параметры, кроме a и f : у вас есть ${\bf M}=\exp(a \sigma_1,~ if\sigma_2)$ в двух разделяемых блоках 2х2; затем вы можете увидеть, что второй блок учитывается и на него не влияет интеграция, а на первый нет, и, таким образом, интеграл M равен ${\bf B}=\int {\bf M}=\exp(\frac{T}{2} \sigma_1 +1\!\!1 \log(2 \sinh(T/2)),~ if\sigma_2)$ .) Может быть и изящный физический аргумент в стиле вращения Вигнера , но это может занять столько же времени.

Интегрирование элементов группы Ли по параметрам соответствующей алгебры Ли

Мистер МюллерМаэстро

Мартин Юдинг

Майк

Майк

Qмеханик

СлучайныйПреобразование Фурье

Ответы (1)

Космас Захос

Существует ли общая теорема о том, почему экспоненциальное отображение ограниченной группы Лоренца сюръективно?

Разница между группой Лоренца и группой Пуанкаре

Генераторы группы Лоренца и ее размерность

Как построить образующие и алгебру Ли для группы Лоренца?

Связь между разложением su(2)su(2)\mathfrak{su}(2) и алгеброй Ли Лоренца

Являются ли спиноры представлениями группы Лоренца или связанной с ней алгебры?

Как бы я связал Λ=e−iωμνJμν/2Λ=e−iωμνJμν/2\Lambda=e^{-i\omega_{\mu\nu}J^{\mu\nu}/2} с матрицей усиления Лоренца?

Какова физическая интерпретация некоммутирующих импульсов Лоренца?

Какая связь между SL (2, C) SL (2, C) SL (2, \ mathbb {C}), SU (2) × SU (2) SU (2) × SU (2) SU (2) \ раз SU (2) и SO (1,3) SO (1,3) SO (1,3)?

Эвристический вывод Wμ=12ϵμνσρPνJσρWμ=12ϵμνσρPνJσρW^\mu=\frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\sigma\rho}P_\nu J_{\sigma\rho} с использованием комбинации физических и математических аргументов