Разница между группой Лоренца и группой Пуанкаре

К сожалению, вы не можете просто так определить группу Пуанкаре, потому что в стандартной трактовке она определяется немного по-другому. То, что вы определили, на самом деле является группой Лоренца. Группа Пуанкаре также содержит переводы.

Группа Лоренца _$O(1,3)$это группа всех$\Lambda \in GL(4, \mathbb{R})$такой, что

с$\eta = \operatorname{diag}(-1,1,1,1)$. Это можно рассматривать как группу всех «изменений ортонормированных систем отсчета в пространстве-времени».

Помните, что одна ортонормированная система отсчета представляет собой набор векторов$\{e_\mu\}$такой, что$g(e_\mu,e_\nu)=\eta_{\mu\nu}$. В этом смысле при наличии двух таких фреймов изменение фрейма, переводящее компоненты в одном из них в компоненты в другом, задается этими элементами.

При этом правильная группа Лоренца$SO(1,3)$что в основном означает, что вы выбираете все элементы$O(1,3)$с определителем$+1$. Ортохронная часть просто означает, что если$\Lambda \in O(1,3)$имеет$\Lambda^0_0 > 0$тогда он сохраняет смысл времениподобных векторов.

Некоторые авторы, кажется, включают «по умолчанию» требование ортохронности в группу$SO(1,3)$(см., например, «Анализ, многообразия и физика» Шоке-Брюа, т. 1, стр. 290). Другие оставляют отдельно, так что в итоге получается группа$SO^+(1,3)$, но это вопрос условности.

Теперь группа Пуанкаре$P(1,3)$(для которого я не знаю стандартных обозначений) — это группа всех преобразований Лоренца вместе со всеми переносами пространства-времени . Другими словами, мы имеем:

вместе с умножением, определенным

Подумайте так: в то время как элементы$SO(1,3)$связывает ортонормированные системы отсчета с совпадающими началами, элементы$P(1,3)$также допускает смещение происхождения.

Действие$SO(1,3)$в векторном пространстве Минковского$\mathbb{R}^{1,3}$(не путать с плоским пространством-временем — это на самом деле «модель» для касательных пространств пространства-времени, которую как раз и можно отождествить с самим пространством-временем в плоском случае) задается обычным умножением матриц, т. е.$\Lambda \in SO(1,3)$у вас есть:

С другой стороны, действие$P(1,3)$на векторном пространстве Минковского$\mathbb{R}^{1,3}$характеризуется тем, что данный$(a,\Lambda)\in P(1,3)$у вас есть:

Я не знаю, поможет ли это, но людям нравится сравнивать это со случаем в$\mathbb{R}^3$где у вас есть ротационная группа$SO(3)$и евклидова группа$E(3)$включающий вращения в$SO(3)$с переводами на$\mathbb{R}^3$таким образом образуя группу жестких движений. Это можно рассматривать как аналогичную конструкцию в пространстве-времени.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Что касается полупрямой конструкции продукта, упомянутой в комментариях, вспомните, что данные группы$N,H$с$\varphi : H\to \operatorname{Aut}(N)$гомоморфизм в группу автоморфизмов$N$, мы можем построить полупрямой продукт как набор$N\times H$с продуктом:

полученная группа обозначается$N\rtimes H$. В частном случае ясно, что мы имеем эту конструкцию с$N = \mathbb{R}^{1,3}$,$H = SO(1,3)$и$\varphi : SO(1,3)\to \operatorname{Aut}(\mathbb{R}^{1,3})$данный$\varphi(\Lambda)(v) = \Lambda v$. Таким образом