Эвристический вывод Wμ=12ϵμνσρPνJσρWμ=12ϵμνσρPνJσρW^\mu=\frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\sigma\rho}P_\nu J_{\sigma\rho} с использованием комбинации физических и математических аргументов

Интуитивный смысл четырехвектора Паули-Лубански легко объясняется для массивных частиц.

Для массивной частицы существует система отсчета, покоящаяся вместе с ней. В этой системе отсчета четыре импульса$P_a$имеет только временную составляющую$a=0$со значением$m$. В этой системе отсчета, глядя на формулу, которую вы написали, вы видите, что$W^a$имеет только три отличные от нуля компоненты$a=1,2,3$с очевидным смыслом момента импульса покоящейся частицы (умноженного на массу), если принять смысл$J_{0a}=-J_{a0}$в учетную запись. Значение$W_aW^a$не зависит от системы отсчета, поэтому его можно вычислить в состоянии покоя с частицей, производящей$m^2$умножить на квадрат углового момента в состоянии покоя с частицей: квадрат спина умножить$m^2$.

Поскольку действие группы Пуанкаре инфинитезимально реализуется образующими группы, тот факт, что$W_aW^a$инвариант всего лишь означает, что он коммутирует со всеми образующими группы, т. е. является оператором Казимира.

Догадка основана на требовании трансляционной инвариантности. Действительно,$J_{\mu\nu}$не коммутирует с оператором перевода$P_{\mu}$. Это означает, что кандидаты$J_{\mu\nu}J^{\mu\nu}$,$\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}J_{\mu\nu}J_{\alpha\beta}$на роль оператора Казимира не являются трансляционно-инвариантными.

Чтобы построить трансляционно-инвариантный оператор Казимира, мы можем определить$C = W_{\mu...}W^{\mu...}$, где$W_{\mu...}$является трансляционно-инвариантным оператором. Единственный возможный кандидат (поскольку$[P_{\mu},P_{\nu}] = 0$) является