Как построить образующие и алгебру Ли для группы Лоренца?

Question

Как построить образующие и алгебру Ли для группы Лоренца?

вопрос

Я пытаюсь вычислить группу Лоренца в 2+1. Прежде всего, я хотел бы думать об особой ортогональной группе как о комбинации вращения и ускорения в пространстве. Затем я создаю его, как показано ниже. Первая ротационная часть:

р (θ) "=" (\begin{matrix} с о с θ & - с я н θ & 0 \\ с я н θ & с о с θ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

$R(\theta)= \begin{pmatrix} cos\theta& -sin\theta & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ я предполагаю

θ

$\theta$ бесконечно мала и

θ \sim ϵ

$\theta \sim \epsilon$ затем

c o s θ \sim 1

$cos\theta \sim 1$ и

s i n θ \sim θ

$sin\theta \sim \theta$

р (θ) "=" (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) - ϵ (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

$R(\theta)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0& 1&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix} -\epsilon \begin{pmatrix} 0&1&0 \\ -1&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}$ у меня только один параметр

θ

$\theta$ поэтому я полагаю, что у меня есть один генератор, а также от вращений. И это

Дж "=" (\begin{matrix} 0 & я & 0 \\ - я & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

$J=\begin{pmatrix} 0&i&0 \\ -i&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}$ и я создаю часть повышения как

Т (ф) "=" (\begin{matrix} с о с час ф & 0 & с я н час ф \\ 0 & 1 & 0 \\ с я н час ф & 0 & с о с час ф \end{matrix})

$T(\phi)=\begin{pmatrix} cosh\phi&0&sinh\phi\\0&1&0\\sinh\phi&0&cosh\phi\end{pmatrix}$

Т (θ) "=" (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) - ϵ (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix})

$T(\theta)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0& 1&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix} - \epsilon\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\ 1&0&0\end{pmatrix}$ и генератор происходит от перевода

К "=" (\begin{matrix} 0 & 0 & я \\ 0 & 0 & 0 \\ я & 0 & 0 \end{matrix})

$K=\begin{pmatrix}0&0&i\\0&0&0\\ i&0&0\end{pmatrix}$ Извиняюсь за плохие обозначения и терминологию. Но я думаю, что мне нужно иметь

\frac{n (n - 1)}{2}

$\frac{n(n-1)}{2}$ генератор точно? Если да, то у меня есть еще один, но как я могу его получить? И как тогда мне построить Алгебру Ли?
ПРИМЕЧАНИЕ. Я также разместил этот вопрос на Math.SE, но боюсь, что здесь он более правильный. Я не ищу способа построения этой ЛГ каких-либо других изоморфных групп. У меня мало знаний о гомоморфизме, изоморфизме и т. д. Спасибо.

Qмеханик

Связанный: физика.stackexchange.com/q /28535/2451

Прахар

Я предполагаю, что когда вы говорите перевод, вы действительно имеете в виду ускорение?

вопрос

@ Прахар, да, верно.

Ответы (2)

Как построить образующие и алгебру Ли для группы Лоренца?

Связанный: физика.stackexchange.com/q /28535/2451
Я предполагаю, что когда вы говорите перевод, вы действительно имеете в виду ускорение?

Прахар · Answer 1

У вас должно быть два буст-генератора. Вы построили один для ускорения в $x$ направлении, но есть и один для ускорения в $y$ .

Селена Рутли · Answer 2

$SO(1,\,2)$ , с двумя пространственными измерениями, вращается только в одной плоскости — плоскости всего пространства. Итак, если наши координаты $(t,\,x,\,y)$ (последние пространственные координаты), его уникальный (с точностью до реального масштабного коэффициента, конечно) вращательный генератор алгебры Ли должен быть:

р "=" (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array})

$R=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}\right)$

где мы поставили единицу $I=\left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right)$ который возводится в степень к двумерному вращению $e^{I\,\theta}=\left(\begin{array}{cc}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{array}\right)$ в правом нижнем углу.

Так же ставим генератор $K=\left(\begin{array}{cc}0&+1\\+1&0\end{array}\right)$ 1D бустов в $x$ направление, которое возводится в степень $e^{\eta\,K}=\left(\begin{array}{cc}\cosh\eta&\sinh\eta\\\sinh\eta&\cosh\eta\end{array}\right)$ в правом верхнем углу, чтобы получить генератор бустов в $x$ направление:

Б_{Икс} "=" (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

$B_x=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{array}\right)$

Сделайте то же самое для бустов в $y$ направление в первой/третьей строках/столбцах, которые соответствуют времени и координатам y:

Б_{у} "=" (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array})

$B_y=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{array}\right)$

а затем легко показать, что линейное пространство $\mathfrak{l}=\langle\{B_x,\,B_y,\,R\}\rangle$ охватывает $\{B_x,\,B_y,\,R\}$ закрывается скобкой Ли со скобочными соотношениями :

[Б_{Икс}, Б_{у}] "=" - р; [Б_{Икс}, р] "=" - л у; [Б_{у}, р] "=" + л Икс

$[B_x,\,B_y]=-R;\quad[B_x,\,R]=-Ly;\quad[B_y,\,R]=+Lx$

Следовательно, по переписке Ли, $\mathfrak{L}=\bigcup\limits_{k=1}^\infty\,\exp(\mathfrak{l})^k$ является компонентом связности тождества $SO^+(1,\,2)$ из $SO(1,\,2)$ : группа Ли всех повышений и вращений в $X\wedge Y$ самолет .

Генератор ускорений в направлении под углом $\theta$ относительно $x$ ось:

Б_{θ} "=" А г (е^{я θ}) Б_{Икс} "=" е^{я θ} Б_{Икс} е^{- я θ} "=" (\begin{array}{ccc} 0 & потому что θ & грех θ \\ потому что θ & 0 & 0 \\ грех θ & 0 & 0 \end{array})

$B_\theta = \mathrm{Ad}(e^{I\,\theta})\,B_x = e^{I\,\theta}\,B_x\,e^{-I\,\theta} = \left(\begin{array}{ccc}0&\cos\theta&\sin\theta\\\cos\theta&0&0\\\sin\theta&0&0\end{array}\right)$

возведение в степень к общему импульсу $\beta(\theta\,\eta) = \exp(\eta\,B_\theta)$ , что получается:

β (θ, η) "=" (\begin{array}{ccc} чушь (η) & потому что (θ) грех (η) & грех (θ) грех (η) \\ потому что (θ) грех (η) & чушь (η) {потому что}^{2} (θ) + {грех}^{2} (θ) & потому что (θ) (чушь (η) - 1) грех (θ) \\ грех (θ) грех (η) & потому что (θ) (чушь (η) - 1) грех (θ) & {потому что}^{2} (θ) + чушь (η) {грех}^{2} (θ) \end{array})

$\beta(\theta,\,\eta)=\left( \begin{array}{ccc} \cosh (\eta ) & \cos (\theta ) \sinh (\eta ) & \sin (\theta ) \sinh (\eta ) \\ \cos (\theta ) \sinh (\eta ) & \cosh (\eta ) \cos ^2(\theta )+\sin ^2(\theta ) & \cos (\theta ) (\cosh (\eta )-1) \sin (\theta ) \\ \sin (\theta ) \sinh (\eta ) & \cos (\theta ) (\cosh (\eta )-1) \sin (\theta ) & \cos ^2(\theta )+\cosh (\eta ) \sin ^2(\theta ) \\ \end{array} \right)$

В качестве альтернативы вы можете написать общий импульс как $\exp(\eta_x\,B_x+\eta_y\,B_y)$ с результатом:

опыт (η_{Икс} Б_{Икс} + η_{у} Б_{у}) "=" (\begin{array}{ccc} чушь (\sqrt{η_{Икс}^{2} + η_{у}^{2}}) & \frac{η_{Икс} грех (\sqrt{η_{Икс}^{2} + η_{у}^{2}})}{\sqrt{η_{Икс}^{2} + η_{у}^{2}}} & \frac{η_{у} грех (\sqrt{η_{Икс}^{2} + η_{у}^{2}})}{\sqrt{η_{Икс}^{2} + η_{у}^{2}}} \\ \frac{η_{Икс} грех (\sqrt{η_{Икс}^{2} + η_{у}^{2}})}{\sqrt{η_{Икс}^{2} + η_{у}^{2}}} & \frac{чушь (\sqrt{η_{Икс}^{2} + η_{у}^{2}}) η_{Икс}^{2} + η_{у}^{2}}{η_{Икс}^{2} + η_{у}^{2}} & \frac{η_{Икс} η_{у} (чушь (\sqrt{η_{Икс}^{2} + η_{у}^{2}}) - 1)}{η_{Икс}^{2} + η_{у}^{2}} \\ \frac{η_{у} грех (\sqrt{η_{Икс}^{2} + η_{у}^{2}})}{\sqrt{η_{Икс}^{2} + η_{у}^{2}}} & \frac{η_{Икс} η_{у} (чушь (\sqrt{η_{Икс}^{2} + η_{у}^{2}}) - 1)}{η_{Икс}^{2} + η_{у}^{2}} & \frac{η_{Икс}^{2} + η_{у}^{2} чушь (\sqrt{η_{Икс}^{2} + η_{у}^{2}})}{η_{Икс}^{2} + η_{у}^{2}} \end{array})

$\exp(\eta_x\,B_x+\eta_y\,B_y)=\left( \begin{array}{ccc} \cosh \left(\sqrt{\eta_x^2+\eta_y^2}\right) & \frac{\eta_x \sinh \left(\sqrt{\eta_x^2+\eta_y^2}\right)}{\sqrt{\eta_x^2+\eta_y^2}} & \frac{\eta_y \sinh \left(\sqrt{\eta_x^2+\eta_y^2}\right)}{\sqrt{\eta_x^2+\eta_y^2}} \\ \frac{\eta_x \sinh \left(\sqrt{\eta_x^2+\eta_y^2}\right)}{\sqrt{\eta_x^2+\eta_y^2}} & \frac{\cosh \left(\sqrt{\eta_x^2+\eta_y^2}\right) \eta_x^2+\eta_y^2}{\eta_x^2+\eta_y^2} & \frac{\eta_x \eta_y \left(\cosh \left(\sqrt{\eta_x^2+\eta_y^2}\right)-1\right)}{\eta_x^2+\eta_y^2} \\ \frac{\eta_y \sinh \left(\sqrt{\eta_x^2+\eta_y^2}\right)}{\sqrt{\eta_x^2+\eta_y^2}} & \frac{\eta_x \eta_y \left(\cosh \left(\sqrt{\eta_x^2+\eta_y^2}\right)-1\right)}{\eta_x^2+\eta_y^2} & \frac{\eta_x^2+\eta_y^2 \cosh \left(\sqrt{\eta_x^2+\eta_y^2}\right)}{\eta_x^2+\eta_y^2} \\ \end{array} \right)$

в отличие от $SO(1,\,3)$ , которая имеет две компоненты связности, не существует определяющих единицу матриц, сохраняющих псевдонорму $t^2 - x^2 -y^2$ которые снаружи $SO^+(1,\,2)$ . Так что на самом деле $SO^+(1,\,2)\cong SO(1,\,2)$ тогда как $SO^+(1,\,3)\not\cong SO(1,\,3)$ .

Посмотрите следующий сеанс Mathematica, который поможет вам с этими вычислениями:

In[1]:= Bx = {{0, 1, 0}, {1, 0, 0}, {0, 0, 0}};
In[2]:= By = {{0, 0, 1}, {0, 0, 0}, {1, 0, 0}};
In[3]:= R = {{0, 0, 0}, {0, 0, -1}, {0, 1, 0}};

In[4] := Ли[X_, Y_] := XY - YX

In[5]:= Ли[Bx, By] + R
Исход[5]= {{0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}}

In[6]:= Lie[Bx, R] + By
Исход[6]= {{0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}}

In[7] := Ли[By, R] - Bx
Исход[7]= {{0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}}

In[8]:= MatrixExp[theta R].Bx.MatrixExp[-theta R] // Упростить
Out[8]= {{0, Cos[тета], Sin[тета]}, {Cos[тета], 0, 0}, {Sin[тета],0, 0}}

In[9]:= ExpToTrig[MatrixExp[eta MatrixExp[theta R].Bx.MatrixExp[-theta R]]] // Упростить

Out[9]= {{Кош[эта], Cos[тета] Шин[эта],
  Sin[тета] Sinh[эта]}, {Cos[тета] Sinh[эта],
  Cos[тета]^2 Кош[эта] + Sin[тета]^2,
  Cos[тета] (-1 + Кош[эта]) Sin[тета]}, {Sin[тета] Sinh[эта],
  Cos[тета] (-1 + Кош[эта]) Sin[тета],
  Cos[тета]^2 + Кош[эта] Sin[тета]^2}}

In[10]:= ExpToTrig[MatrixExp[etax Bx + etay By]] // Упростить

Out[10]= {{Cash[Sqrt[etax^2 + etay^2]], (
  etax Sin[Sqrt[etax^2 + etay^2]])/Sqrt[etax^2 + etay^2], (
  etay Sinh[Sqrt[etax^2 + etay^2]])/Sqrt[etax^2 + etay^2]}, {(
  etax Sin[Sqrt[etax^2 + etay^2]])/Sqrt[etax^2 + etay^2], (
  etay^2 + etax^2 Cosh[Sqrt[etax^2 + etay^2]])/(etax^2 + etay^2), (
  etax etay (-1 + Cosh[Sqrt[etax^2 + etay^2]]))/(etax^2 + etay^2)}, {(
  etay Sinh[Sqrt[etax^2 + etay^2]])/Sqrt[etax^2 + etay^2], (
  etax etay (-1 + Cosh[Sqrt[etax^2 + etay^2]]))/(etax^2 + etay^2), (
  etax^2 + etay^2 Cosh[Sqrt[etax^2 + etay^2]])/(etax^2 + etay^2)}}

Спасибо за ответ. Большинство учебников учат нас только одномерному способу, что приводит к формуле для 𝛽(𝜃,𝜂). Меня интересует способ exp(𝜂𝑥𝐵𝑥+𝜂𝑦𝐵𝑦). У вас есть ссылка на получение второго способа?

Как построить образующие и алгебру Ли для группы Лоренца?

вопрос

Qмеханик

Прахар

вопрос

Ответы (2)

Прахар

Селена Рутли

По С.

Как бы я связал Λ=e−iωμνJμν/2Λ=e−iωμνJμν/2\Lambda=e^{-i\omega_{\mu\nu}J^{\mu\nu}/2} с матрицей усиления Лоренца?

Вигнеровское вращение

Разница между группой Лоренца и группой Пуанкаре

Коммутационные соотношения образующих группы Лоренца

Эвристический вывод Wμ=12ϵμνσρPνJσρWμ=12ϵμνσρPνJσρW^\mu=\frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\sigma\rho}P_\nu J_{\sigma\rho} с использованием комбинации физических и математических аргументов

Инфинитезимальный генераторный поток преобразований Лоренца в пространстве-времени

Инвариантность к бустам, но не к вращениям?

Разница между «преобразованием Лоренца» и «правильным ортохронным»

Инфинитезимальное преобразование Лоренца антисимметрично

Композиция преобразований Лоренца с использованием образующих и вращения Вигнера