Интерференция от двух источников в перпендикулярном направлении и малоугловые приближения

В следующей установке у нас есть два точечных источника света, излучающих монохроматические сферические световые волны, совпадающие по фазе с длиной волны.$\lambda$, и экран, расположенный в плоскости, перпендикулярной линии, проходящей через источники. Мы предполагаем ситуацию Фраунгофера, когда экран находится очень далеко от источников по сравнению с расстоянием между источниками.$d$и длина волны$\lambda$, а так расстояние от источников до экрана называется просто$R$.

На экране будут видны концентрические интерференционные окружности, и мы хотим найти их радиусы. С помощью обычных рассуждений о дифракции Фраунгофера легко увидеть, что разность хода между двумя источниками равна$d\cos \theta$, поэтому для максимумов имеем$d\cos \theta=n\lambda$.

Учитывая, что угол$\theta$мало, мы можем, как обычно, утверждать, что$\cos \theta \approx 1-\frac12 \theta ^2$а также$R\theta \approx r$где$r$это радиус круга, что мы ищем. Подставляя и выделяя, получаем

$$r \approx \sqrt2R \sqrt{1-\frac{\lambda n}{d}}$$

Однако та же задача может быть решена и без малоуглового приближения, а только с фраунгоферовским приближением (да, я знаю, что фраунгоферовское приближение как бы подразумевает, что угол мал, но тем не менее я показываю, что это можно решить без аппроксимации тригонометрических функций, потерпите меня). Немного возвращаясь туда, где у нас было только$d\cos \theta=n\lambda$, теперь отметим, что$\cos \theta = \frac{R}{\sqrt{r^2+R^2}}$. Подставляя и изолируя, мы теперь получаем

$$r =R \sqrt{\frac{d^2}{\lambda^2 n^2}-1}$$

Однако я не понимаю, как эти два решения согласуются. Они кажутся совершенно разными не только по значениям, которые они предсказывают, они даже не определены в одном и том же регионе (из$n,d,\lambda$-космос)! Я также не могу найти ни одного ряда, сводящего одно из них к другому. Что здесь происходит? Почему два решения не совпадают?