Теорема единственности в однородном электрическом поле

Рассмотрим следующее: Незаряженный металлический шар радиусом р помещают в однородное электрическое поле Е → "=" Е 0 г ^ . Поле будет отталкивать положительный заряд к северной поверхности сферы, а симметрично отрицательный заряд к южной поверхности. Этот индуцированный заряд, в свою очередь, искажает поле в окрестности сферы. Найдите потенциал в области вне сферы.

Сфера является эквипотенциальной, мы можем установить ее в ноль. Тогда по симметрии весь Икс у плоскость находится в нулевом потенциале. Затем В стремится не к нулю, а довольно далеко от сферы поле Е 0 г ^ таким образом, мы имеем

в → − Е 0 г + С .

С В "=" 0 в экваториальной плоскости постоянная С должен быть равен нулю. Тогда граничные условия

В "=" 0       когда  р "=" р В → − Е 0 р потому что ⁡ ( θ )       для  р >> р .

Используя сферическую форму уравнения Лапласа, мы получаем, что потенциал вне сферы равен

В ( р , θ ) "=" − Е 0 ( р − р 3 р 2 ) потому что ⁡ ( θ ) .

Гарантирует ли теорема единственности уравнения Лапласа, что этот потенциал будет тем же потенциалом, скажем, для любого однородного электрического поля? Е → 0 поскольку граничные условия будут одинаковыми (за исключением, возможно, необходимости преобразования координат), даже если направление однородного электрического поля может быть другим?

Почему вся плоскость xy находится в нулевом потенциале?
@JayJay Хороший вопрос ... Я тоже пытаюсь это понять ... Это пример из четвертого издания «Введение в электродинамику» Гриффитса, стр. 145. Пример 3.8. если ты заинтересован. Дайте мне знать, если вы добьетесь прогресса...

Ответы (1)

Очевидно, что вся плоскость xy находится под одним потенциалом, так как все поля строго перпендикулярны ей (если запутались, нарисуйте схему). Поскольку мы выбираем сферу с нулевым потенциалом, точка на сфере, которая пересекает плоскость xy, также имеет нулевой потенциал, и, следовательно, вся плоскость находится в нуле по определению, выбранному в соответствии с вашим вопросом уникальности, из-за сферической симметрии ситуации, точка, фиксированная относительно направления Е 0 всегда должен иметь один и тот же потенциал

{Примечание: точка, зафиксированная в пространстве, не будет иметь одинаковый потенциал для разных ориентаций Е 0 .}

Спасибо за ваш ответ. Просто чтобы подтвердить последнюю часть вашего ответа, которая касается фактического вопроса поста: вы говорите, что симметрия данной проблемы позволяет мне использовать теорему единственности так, как я это делал, но в целом это не так?
Чтобы применить уникальность, необходимо указать граничные значения потенциала. Хотя она указана на поверхности проводника, она не указана на бесконечности. Таким образом, вы не можете применить уникальность здесь
Я просто говорю, что потенциал будет одинаковым относительно ориентации поля E из-за сферической симметрии.
@Lelouch Привет, можно ли увидеть причину в том, что В "=" − ∫ а б Е → ⋅ д я , так как в Икс у самолет д я перпендикулярно Е → , мы бы получили это В равен нулю везде на Икс у самолет, если а принимается за точку на поверхности сферы и в Икс у самолет? Во-вторых, почему можно просто обнулить потенциал сферы, если она эквипотенциальна как проводник? Изменится ли при этом потенциал в точках вокруг сферы? Спасибо.
В этом случае можно определить потенциал как ноль, по этой причине он больше не будет равен нулю на бесконечности, с чем мы обычно сталкиваемся. Это просто допустимый выбор для упрощения вычислений за счет того, что потенциал становится ненулевым на бесконечности, а нулевым на плоскости и сфере.
Теорема единственности в однородном электрическом поле
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v