Интуиция относительно того, почему ориентация (трехмерного объекта) не является сохраняющейся величиной?

Question

Интуиция относительно того, почему ориентация (трехмерного объекта) не является сохраняющейся величиной?

Дон Хэтч

Скажем, вы начинаете парить в пространстве в фиксированном положении и ориентации, с нулевой линейной и угловой скоростью, без внешних сил. Итак, вы — закрытая механическая система. Извиваясь телом,

вы не можете изменить свой линейный импульс.
вы не можете изменить свое положение (центр масс).
вы не можете изменить свой угловой момент.
вы можете изменить свою ориентацию (т.е. вращение)!

Тот факт, что вы можете изменить свою ориентацию, стал для меня неожиданностью — почему она не сохраняется, как три другие величины? Это известный факт — кошки делают это все время, чтобы приземлиться на лапы, и вы можете найти видео, на которых астронавты делают это на международной космической станции. Смотрите видео, связанные с https://space.stackexchange.com/questions/2954/how-do-astronauts-turn-in-space . Но мне все еще кажется нелогичным, что они могут сделать это, не имея возможности изменить три другие величины. Есть ли какое-то интуитивно понятное объяснение, почему?

Селена Рутли

Ваш вопрос хороший и тонкий, поэтому у меня есть только предчувствие, что следующее может иметь значение. Знакомы ли вы с «Калибровочной теорией падающего кота» Ричарда Монтгомери ? Это своего рода еще один способ выразить ту же идею, что и @Christoph - «ориентация» имеет смысл только до тех пор, пока вы говорите об одной и той же точке в пространстве кошачьих форм (или конфигурации системы масс). Или, говоря наоборот, мы можем сжать полное конфигурационное пространство системы масс в классы эквивалентности конфигураций, где наше отношение эквивалентности...

Селена Рутли

... "может быть отображено из одного в другое с помощью изометрии". Монтгомери содержательно резюмирует эти идеи, делая ориентацию калибровочным полем в пространстве кошачьих форм (расслоение волокон с базовым пространством в виде форм и ориентациями в виде волокон).

Руслан

Случайная идея: может ли ориентация каким-то образом не сохраняться, потому что вращения в разных плоскостях не коммутируют?..

ДжиК

@Ruslan Ориентация не сохраняется, даже если движение ограничено одной плоскостью.

Зволь

Было бы полезно подумать о том, как колеса реакции достигают своих результатов.

Селена Рутли

@zwol Я думаю, что ОП прекрасно понимает, что происходит; скорее, он ищет «озарения»; как хороший педагог подошел бы к этому вопросу? Я думаю, что ОП ищет содержательные и определяющие соответствия между поступательной и вращательной системами, чтобы ясно видеть, где соответствия различаются, чтобы объяснить, как он говорит, удивительное поведение.

Ответы (5)

Интуиция относительно того, почему ориентация (трехмерного объекта) не является сохраняющейся величиной?

Ваш вопрос хороший и тонкий, поэтому у меня есть только предчувствие, что следующее может иметь значение. Знакомы ли вы с «Калибровочной теорией падающего кота» Ричарда Монтгомери ? Это своего рода еще один способ выразить ту же идею, что и @Christoph - «ориентация» имеет смысл только до тех пор, пока вы говорите об одной и той же точке в пространстве кошачьих форм (или конфигурации системы масс). Или, говоря наоборот, мы можем сжать полное конфигурационное пространство системы масс в классы эквивалентности конфигураций, где наше отношение эквивалентности...
... "может быть отображено из одного в другое с помощью изометрии". Монтгомери содержательно резюмирует эти идеи, делая ориентацию калибровочным полем в пространстве кошачьих форм (расслоение волокон с базовым пространством в виде форм и ориентациями в виде волокон).
Случайная идея: может ли ориентация каким-то образом не сохраняться, потому что вращения в разных плоскостях не коммутируют?..
@Ruslan Ориентация не сохраняется, даже если движение ограничено одной плоскостью.
Было бы полезно подумать о том, как колеса реакции достигают своих результатов.
@zwol Я думаю, что ОП прекрасно понимает, что происходит; скорее, он ищет «озарения»; как хороший педагог подошел бы к этому вопросу? Я думаю, что ОП ищет содержательные и определяющие соответствия между поступательной и вращательной системами, чтобы ясно видеть, где соответствия различаются, чтобы объяснить, как он говорит, удивительное поведение.

Джон Ренни · Answer 1

Это связано с тем, что момент инерции не является сохраняющейся величиной.

Утверждение, что изолированное тело не может изменить свое положение, точнее утверждение, что изолированное тело не может изменить положение своего центра масс. Положение центра масс, ${\bf R}$ , дан кем-то:

р знак равно \frac{1}{М} \sum м_{я} р_{я}

${\bf R} = \frac{1}{M}\sum m_i {\bf r}_i$

куда $M$ это общая масса и $m_i$ массы отдельных элементов нашей системы. Масса является сохраняющейся величиной, поэтому все массы в нашем уравнении являются постоянными, и если мы продифференцируем по времени, мы получим:

\dot{р} знак равно \frac{1}{М} \sum м_{я} {\dot{р}}_{я} знак равно \frac{п}{М}

$\dot{\bf R} = \frac{1}{M}\sum m_i \dot{\bf r}_i = \frac{\bf P}{M}$

куда ${\bf P}$ это полный импульс. Поскольку импульс сохраняется, общий импульс должен быть постоянным, и если мы снова продифференцируем, мы получим $\ddot{\bf R} = 0$ , поэтому ускорение центра масс всегда должно быть равно нулю.

Теперь давайте попробуем применить тот же аргумент к угловому эквиваленту центра масс. По аналогии с центром масс мы можем определить центр угла как:

Θ знак равно \frac{1}{я} \sum я_{я} θ_{я}

$\Theta = \frac{1}{I}\sum I_i \theta_i$

Следующий шаг — попытаться отличить $\Theta$ дважды по времени в надежде получить $\ddot{\Theta} = 0$ . Проблема в том, что ни общий момент инерции, ни моменты отдельных элементов не являются постоянными, а вместо этого могут быть функциями времени. В общем наш результат будет:

\ddot{Θ} \neq 0

$\ddot{\Theta} \ne 0$

что обозначает $\Theta$ не является константой.

Мне нравится этот ответ. Я думаю, что это улавливает суть того, почему вещи ломаются, а также дает подсказку о том, как выполнять кувырки в невесомости и кошачьи сальто: легко изменить момент инерции, например, вытянув или втянув руки.
Комментарий к ответу (v1): Следует подчеркнуть, что угол рождается как многозначная функция . Однозначное определение угла зависит от выбора ветви, которая не может быть выбрана везде непрерывной. Это несколько ставит под угрозу понятие центра угла.
@Qmechanic, возможно, это можно исправить, рассматривая угол как нормализованный вектор, $(\cos \theta, \sin \theta)$ ? В направленной статистике есть родственная проблема и решение .
@A.Donda по-прежнему существовал бы большой класс объектов, чей вектор «центра угла» был (ненаправленным) нулевым вектором, несмотря на наличие узнаваемой ориентации (т. Е. Отсутствие круговой симметрии).

Кристоф · Answer 2

Джон правильно сказал, что это возможно, потому что реконфигурация наших тел позволяет нам изменить наш момент инерции, но не нашу массу.

Поскольку вопрос был об интуитивном объяснении, рассмотрите возможность добавления ряда плавающих грузов, чтобы получить аналогичную ситуацию для поступательного движения:

Космонавт вытягивает руки над головой, берет груз, перемещает его вдоль тела и отпускает на поясе. Делая это неоднократно, космонавт может изменить свое положение.

Подробно, начиная с отведенных рук в случае вращений и поднятых рук в случае перемещений:

\begin{array}{ll} вращение & перевод \\ расправь руки & набрать вес \\ увеличить момент инерции & увеличить массу \\ скрутить свое тело & нижние руки \\ изменить ориентацию & перемещать COM тела \\ убрать руки & падающий вес \\ уменьшить момент инерции & уменьшить массу \\ раскрутить тело, чтобы вернуться & поднять руки, чтобы вернуться \\ в первоначальную конфигурацию кузова & в первоначальную конфигурацию кузова \end{array}

$\begin{array}{l|l} \textbf{rotation} & \textbf{translation} \\ \hline \text{spread your arms} & \text{pick up weight} \\ \text{to increase moment of inertia} & \text{to increase mass} \\ \hline \text{twist your body} & \text{lower arms} \\ \text{to change orientation} & \text{to move COM of body} \\ \hline \text{retract arms} & \text{drop weight} \\ \text{to decrease moment of inertia} & \text{to decrease mass} \\ \hline \text{untwist body to get back} & \text{raise arms to get back} \\ \text{into initial body configuration} & \text{into initial body configuration} \\ \end{array}$

Последний шаг будет противодействовать вращению/поступательному движению, но поскольку момент инерции/массы будет меньше, чем на шаге 2, произойдет чистое изменение ориентации/положения.

Должен признаться, я не совсем вижу связь между этим описанием и вопросом. Возможно, добавить еще какой-нибудь поясняющий материал, указав на соответствие между этим поступательным случаем и вращательным случаем, и где/почему соответствие нарушается?

дфейер · Answer 3

Кажется полезным рассмотреть чрезвычайно простой сценарий. Предположим, космонавт плывет рядом с двумя свинцовыми шарами; в этом случае замкнутая система состоит из космонавта вместе с шарами. Она может сблизить шарики, не изменяя импульса или углового момента системы. Затем она может повернуть их в центре почти без изменений и снова разделить. Если этот небольшой поворот в центре вас беспокоит, вы можете представить, что вместо этого она имеет три свинцовых стержня, стягивает их вместе так, что один проскальзывает между двумя другими, а затем тянет их в стороны по другой оси. Настоящая механика движения человека и кошки, конечно, более сложна, но вы можете думать о таких движениях, как поднятие и опускание рук и раскачивание их вперед и назад, как по существу похожие.

Представьте, что все ваше тело неподвижно и прямо, за исключением того, что вы можете махать руками на плечах. Начните с рук по бокам. Теперь поднимите их вверх и вперед, как если бы вы ударяли по мячу в волейболе, пока они не станут перпендикулярны вашему телу. Ваше тело наклонится вперед. Теперь разведите руки в стороны, вправо и влево. Вы снова наклонитесь вперед. Наконец, опустите руки вниз по бокам. Вы вообще не будете наклоняться, а вернетесь к своей первоначальной форме тела, только наклонившись вперед относительно исходной ориентации.

+1, но, возможно, более простым примером поворота себя было бы просто вращать обеими руками в постоянном круговом движении: пока вы продолжаете раскачиваться, ваше тело вращается в противоположном направлении (вы начинаете точно так же, как вы описали, но вместо останавливаясь и разводя руки в стороны, вы просто продолжаете раскачиваться).
@kristjan, хотя это движение проще, его немного сложнее анализировать, потому что руки не качаются вокруг центра масс.
@dfeuer, это хорошее объяснение того, как можно изменить ориентацию, но это было тщательно проанализировано в другом месте ... много статей о том, как кошки выпрямляются, и ответы на вопросы об этом на самом деле на этом форуме. Мой вопрос больше о попытке понять, почему одни величины сохраняются, а другие нет, вопреки моей интуиции, что все это одинаковые виды величин.
В ответах на space.stackexchange.com/questions/2954/… есть хороший обзор со ссылками на видео.
... и я только что добавил эту ссылку к вопросу

Гладкое пространство · Answer 4

Гладкое пространство

Вот более простой ответ: если что-то может менять форму, то оно на самом деле не имеет ориентации.

Руслан

Представьте себе разноцветный резиновый мячик с песком. Он может менять форму, но вы можете определить его ориентацию в любое время, взглянув на его цвета.

Гладкое пространство

он может изменить форму, и если это произойдет, он может оказаться в другой ориентации.

Руслан

Да, но вы утверждаете, что в вашем ответе нет направленности.

Дон Хэтч

Для меня не очевидно, что нежесткая форма не имеет значимой ориентации. В случае интереса вы делаете несколько скручиваний, а затем расслабляетесь, возвращаясь к какой-либо канонической форме. В этом случае ваше общее изменение ориентации четко определено, как и для твердого тела. (Это может быть определено как матрица или кватернион.) Что меня беспокоит, так это то, что после выполнения искривлений вы обнаруживаете, что не можете достичь какой-либо скорости или изменения положения или заставить себя вращаться... но каким-то образом вы смогли измениться. ваша ориентация. Разве это не удивительно?

Гладкое пространство

Он может менять ориентацию, поэтому на самом деле у него нет ориентации. Я должен был сказать, что на самом деле у него не было фиксированной, неизменной ориентации, но это было скорее семя, чтобы заставить людей задуматься и понять, почему.

Гладкое пространство

может быть, лучше понять, что центр масс, угловой момент, линейный импульс измеряют систему, и ориентация может быть изменена внутри системы, перемещая атомы.

Дон Хэтч

Верно, ориентация может быть изменена, а остальные сохранены... но я не вижу, чтобы вы сказали здесь что-то большее, чем то, что наблюдалось в вопросе. Вопрос в том, почему ориентация может изменяться в закрытой системе, а остальные три — нет, — это кажется мне действительно удивительным.

Гладкое пространство

о, потому что ориентация — это описание всех частей системы, а другие качества измеряют всю систему как единый объект.

суперкот · Answer 5

Еще более простой ответ, чем другие, приведенные здесь, заключается в том, что вращение объекта на целое число оборотов оставляет его в том же кажущемся состоянии вращения, что и раньше. Если у вас есть объект в космосе с двумя соосными частями, моменты которых имеют, например, отношение x:y, и части вращаются друг относительно друга, одна часть будет совершать y оборотов за каждые x оборотов другой. Если, например, x равно 1,1, а y равно 1,0, то если x сделает один полный оборот, то y сделает 1,1 оборота. Хотя эти числа будут уравновешены, как предполагают их моменты, x будет казаться в своей первоначальной ориентации, а y будет казаться повернутым на 0,1 оборота.

Все другие примеры, связанные с изменением моментов, фактически предполагают, что некоторые части системы совершают полный оборот относительно других частей, а затем оказываются в одной и той же видимой ориентации.

Интуиция относительно того, почему ориентация (трехмерного объекта) не является сохраняющейся величиной?

Дон Хэтч

Селена Рутли

Селена Рутли

Руслан

ДжиК

Зволь

Селена Рутли

Ответы (5)

Джон Ренни

Дон Хэтч

Qмеханик

А. Донда

Хью Аллен

Яшбхатт

Кристоф

Дон Хэтч

Кристоф

дфейер

Кристьян

дфейер

Дон Хэтч

Дон Хэтч

Дон Хэтч

Гладкое пространство

Руслан

Гладкое пространство

Руслан

Дон Хэтч

Гладкое пространство

Гладкое пространство

Дон Хэтч

Гладкое пространство

суперкот