Использование функционалов в формализме Мартина Сиггиа Роуза

В настоящее время я изучаю «Критическую динамику - подход теории поля к равновесному и неравновесному масштабирующему поведению» и столкнулся с проблемой, которую не могу решить.

Если вы знакомы с функциональными производными и/или формализмом Мартина-Сиггиа-Роуза, пожалуйста, пропустите довольно длинный абзац, чтобы внести некоторый контекст. Я надеюсь, что обозначения стандартны (я новичок в этой области).

Контекст

Если у вас есть доступ к книге (к сожалению, общедоступной версии нет), начиная с главы 4, для динамики Ланжевена настроен формализм Мартина-Сиггиа-Роуза, в данном случае пример:

Обобщая гамильтонианы Ландау–Гинзбурга–Вильсона для моделей Изинга и Гейзенберга[...] на n-компонентные изотропные системы, испытывающие фазовый переход второго рода, мы рассматриваем

$$\begin{equation} H[S]=\int d^{d}x \sum_{\alpha} \left(\frac{r}{2}[S^{\alpha}(x)]^{2}+\frac{1}{2}[\nabla S^{\alpha}(x)]^{2}+\frac{u}{4!} \sum_{\beta}[S^{\alpha}(x)]^{2}[S^{\beta}(x)]^{2}-h^{\alpha}(x)S^{\alpha}(x) \right) \end{equation}$$ С $S$n-компонентный параметр порядка и h сопряженное внешнее поле.

Ассоциированная эволюция представляет собой уравнение Ланжевена, определяемое как:

$$\begin{equation} \frac{\partial S^{\alpha}(x,t)}{\partial t}=-D(i\nabla)^{a} \frac{\delta H[S]}{\delta S^{\alpha}(x,t)}+\zeta^{\alpha}(x,t) \end{equation}$$

Если колебания учитываются через$\zeta$, диагональный белый шум с нулевым средним значением$\left< \zeta^{\alpha}(x,t) \zeta^{\beta}(x',t') \right> = 2 L\delta(x-x')\delta(t-t')\delta^{\alpha\beta}$, и$L=D(i\nabla)^{a}$.

Отсюда выводится производящий функционал для корреляционных функций,

$$\begin{equation} Z[\tilde{j},j]=\left< exp \int d^{d}xdt \sum_{\alpha} \tilde{j^{\alpha}}(x,t) \tilde{S^{\alpha}}(x,t)+j^{\alpha}(x,t)S^{\alpha}(x,t)\right> \end{equation}$$

The $j$- это исходные токи, а тильда - вспомогательные поля MSR / исходные токи.

С помощью функциональных производных по токам, взятых при нулевых токах, получают корреляционные функции.

Логарифмирование Z дает производящий функционал связанных корреляционных функций, а теперь выполняется преобразование Лежандра логарифма с новыми переменными,

$$\begin{align} \tilde{\Phi^{\alpha}}(x,t)=\frac{\delta \log Z[\tilde{j},j]}{\delta \tilde{j^{\alpha}}(x,t)} && \Phi^{\alpha}(x,t)=\frac{\delta \log Z[\tilde{j},j]}{\delta j^{\alpha}(x,t)} \end{align}$$

В итоге получается производящий функционал для вершинных функций,

$$\begin{equation} \Gamma[\tilde{\Phi^{\alpha}},\Phi^{\alpha}]=-\log Z[\tilde{j},j]+ \int d^{d}xdt \sum_{\alpha} \left( \tilde{j^{\alpha}}(x,t)\tilde{\Phi^{\alpha}}(x,t)+j^{\alpha}(x,t)\Phi^{\alpha}(x,t)\right) \end{equation}$$

Все это для отображения возмущений корреляционных функций в терминах диаграмм Фейнмана. Связные корреляционные функции будут соответствовать в теории возмущений вкладу связного графа, но, как часто в теории поля, интересуют «реальные» строительные блоки диаграммного разложения, а именно неприводимые одночастичные графы, вклад которых исходит от функционала производные от$\Gamma$, вершинные функции,

$$\begin{equation} \Gamma^{(\tilde{N},N)}_{\{\alpha_{i}\};\{\alpha_{k}\}}(\{x_{i},t_{i}\};\{x_{k},t_{k}\})=\prod^{\tilde{N}}_{i} \frac{\delta}{\delta \tilde{\Phi^{\alpha_{i}}}(x_{i},t_{i})} \prod^{N}_{k} \frac{\delta}{\delta \Phi^{\alpha_{k}}(x_{k},t_{k})} \Gamma[\tilde{\Phi^{\alpha}},\Phi^{\alpha}] \biggr\rvert_{j=\tilde{j}=0} \end{equation}$$

Можно показать, что$\Gamma^{(1,1)}_{\alpha;\beta}(x,t;x',t')$имеет форму$\Gamma^{(1,1)}(x-x',t-t')\delta^{\alpha\beta}$. В свою очередь, эта форма интересна тем, что после преобразования Фурье мы имеем

$$\begin{equation} \Gamma^{(1,1)}(q,\omega)=G(-q,-\omega)^{-1} \end{equation}$$

Таким образом, с точностью до знака в переменных петлевые диаграммы, дающие вклад в$\Gamma^{(1,1)}(q,\omega)$являются не чем иным, как неприводимыми графами собственной энергии одной частицы.

Следовательно, можно вычислить пертурбативное разложение пропагатора, вычислив только вклад этих графиков.

---

Сама проблема

Чтобы вычислить пертурбативное разложение пропагатора, кажется, вам нужно сначала установить правила Фейнмана для вашей теории, а затем использовать приведенные выше результаты, чтобы утверждать, что вам нужно только вычислить вклады от 1-частичных неприводимых графов.

Но мы также видели явный вид пропагатора в терминах вершинных функций. Давайте посчитаем напрямую$\Gamma^{(1,1)}_{\alpha;\beta}(x,t;x',t')$затем !

$$\begin{equation} \frac{\delta \Gamma[\tilde{\Phi},\Phi]}{\delta \tilde{\Phi}^{\alpha}(x,t)} =\tilde{j}^{\alpha}(x,t) \end{equation}$$

и

$$\begin{equation} \frac{\delta^{2} \Gamma[\tilde{\Phi},\Phi]}{\delta \tilde{\Phi}^{\alpha}(x,t) \delta\Phi^{\beta}(x',t')} =\frac{\delta \tilde{j}^{\alpha}(x,t)}{\delta\Phi^{\beta}(x',t')} = ? \end{equation}$$

Первое тождество получить довольно легко. Хотя я вообще не могу вычислить производную тока. Я попытался использовать определение$\tilde{\Phi}$сделать изменение в переменной, но там, кажется, функциональное изменение переменных. Я попробовал обычный метод, т.е. взял многомерный случай и довел число переменных до бесконечности, заменив суммы интегралами, но из этого ничего не вышло.

Есть ли способ продолжить, как это? Является ли это «функциональным изменением переменной» вообще вещью? А если нет, то можно ли вычислить вершинные функции другим способом?

---

Большое спасибо, что дочитали до сюда. На самом деле я не ожидаю полного ответа (если только г-н Таубер не находится на этом сайте и не увидит мой пост), но любая ссылка либо на соответствующий контент в QFT или SFT, либо на математический текст об этой идее функционального изменения переменной будет высоко оценен.

Пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать о какой-либо точности, которую вы хотели бы видеть в этом вопросе, возможно, я был слишком быстр в контексте (хотя он уже слишком длинный).

Примечание: я не мог посещать курсы функционального анализа во время учебы, поэтому у меня были проблемы с поиском чего-либо в статьях по mathSE/math. Тем не менее, я готов нырнуть в случае необходимости.