Использование постоянной тонкой структуры для измерения атомных и молекулярных размеров

Это своего рода вопрос для курсовой работы, но он поднимает некоторые действительно интересные вещи о постоянной тонкой структуры.$\alpha$поэтому я хотел опубликовать это, чтобы не только убедиться, что я что-то понял, но и поделиться некоторыми другими идеями.

Итак, вопрос: нас просят показать, что отношение длины волны фотона, испускаемого атомом, и его размера, в свою очередь, связано с$\alpha$. Я придумал следующее:

для водородоподобного атома (с использованием модели Бора)

$$r = \frac{n^2 \hbar^2} {Zm_e k e^2}$$ или, в терминах боровского радиуса, $r= \frac{n^2r_0}{Z}$где $k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}$

Теперь энергия атома$E=\frac{kZe^2}{2r}$(Я могу получить это из теоремы Вириала), а r в данном случае — это радиус, который мы получили ранее.

Вставляем одно в другое имеем

$$E=\frac{kZe^2}{2 \frac{n^2 \hbar^2} {Zm_e k e^2}}=\frac{k^2Z^2e^4 m_e}{2 n^2 \hbar^2}$$ с $E=h \nu = hc/ \lambda$у нас есть $$\frac{hc}{\lambda}=\frac{k^2Z^2e^4 m_e}{2 n^2 \hbar^2}$$

Теперь постоянная тонкой структуры$\alpha = \frac{ke^2}{\hbar c}$и это превращает это в

$$\frac{1}{\lambda}=\frac{k^2Z^2e^4 m_e}{2 n^2 \hbar^2 hc}=\alpha^2 \frac{\pi Z^2 m_ec}{ n^2 \hbar}$$ и умножив исходное r на это: $$\frac{n^2 \hbar^2} {Zm_e k e^2}\alpha^2 \frac{\pi Z^2 m_ec}{ n^2 \hbar}=\alpha \pi Z = \frac{r}{\lambda}$$

что говорит мне о том, что отношение размера к длине волны полностью зависит от Z и$\alpha$.

Я также включил это в уравнение изменения энергии,

$$\Delta E = -Z^2 \frac{ke^2}{2r_0} \left(\frac{1}{n_i^2}-\frac{1}{n_f^2}\right)$$ и подключим то, что у нас есть для $r_0$:

$r_0=\frac{\hbar^2}{m_eke^2}\rightarrow-Z^2 \frac{ke^2}{2(\frac{\hbar^2}{m_eke^2})} \left(\frac{1}{n_i^2}-\frac{1}{n_f^2}\right)\rightarrow -Z^2\frac{k^2e^4m_e}{2\hbar^2}\left(\frac{1}{n_i^2}-\frac{1}{n_f^2}\right)\rightarrow -Z^2\frac{\alpha^2c^2m_e}{2}\left(\frac{1}{n_i^2}-\frac{1}{n_f^2}\right)=\Delta E$

Если предположить, что я сделал это правильно, применимо ли то же самое к молекуле? То есть, учитывая длину волны, я бы подумал, что вы просто подставите это обратно в уравнение энергии (используя$\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$и получите примерный размер. Но я проверял, правильна ли моя логика.

Другая интересная вещь для меня заключается в том, как можно использовать$\alpha$другими интересными способами для таких проблем.

В любом случае, если кто-то может сказать, что я сделал что-то глупое, это очень ценно. Я просто хочу проверить, правильна ли моя логика.