Калибровочная инвариантность гамильтониана

Question

Калибровочная инвариантность гамильтониана

Анонимный

Рассмотрим лагранжиан $L(x,\dot x,t)$ и соответствующий гамильтониан $H=\dot xp-L$ где $p=\partial L/\partial \dot x$ которая удовлетворяет уравнениям Гамильтона

\frac{\partial ЧАС}{\partial Икс} "=" - \dot{п}

$\frac{\partial H}{\partial x}=-\dot p$

\frac{\partial ЧАС}{\partial п} "=" \dot{Икс} .

$\frac{\partial H}{\partial p}=\dot x.$ Я пытаюсь показать, что уравнения Гамильтона не изменяются калибровочным преобразованием лагранжиана

L^{'} = L + \frac{d F}{d t}

$L'=L+ \frac{dF}{dt}$ где

F (x, t)

$F(x,t)$ является функцией только положения и времени. Сначала я расширяю производную от

F

$F$

\frac{г Ф}{г т} "=" \frac{\partial Ф}{\partial т} + \frac{\partial Ф}{\partial Икс} \dot{Икс}

$\frac{dF}{dt}=\frac{\partial F}{\partial t}+ \frac{\partial F}{\partial x}\dot x$ новый сопряженный импульс равен

п^{'} "=" \frac{\partial л^{'}}{\partial \dot{Икс}} "=" \frac{\partial л}{\partial \dot{Икс}} + \frac{\partial}{\partial \dot{Икс}} \frac{г Ф}{г т} "=" п + \frac{\partial Ф}{\partial Икс}

$p'=\frac{\partial L'}{\partial \dot x}=\frac{\partial L}{\partial \dot x}+\frac{\partial}{\partial \dot x} \frac{dF}{dt}=p+ \frac{\partial F}{\partial x}$ и так

\frac{\partial}{\partial п^{'}} "=" \frac{\partial п}{\partial п^{'}} \frac{\partial}{\partial п} "=" \frac{\partial}{\partial п}

$\frac{\partial}{\partial p'}= \frac{\partial p}{\partial p'} \frac{\partial}{\partial p}=\frac{\partial}{\partial p}$ Новый гамильтониан

{ЧАС}^{'} "=" п^{'} \dot{Икс} - л^{'} "=" п \dot{Икс} - л + \frac{\partial Ф}{\partial Икс} \dot{Икс} - \frac{г Ф}{г т} "=" ЧАС - \frac{\partial Ф}{\partial т}

$H'=p'\dot x-L' = p \dot x-L+\frac{\partial F}{\partial x} \dot x - \frac{dF}{dt}=H- \frac{\partial F}{\partial t}$ Уравнения Гамильтона тогда

\frac{\partial {ЧАС}^{'}}{\partial п^{'}} "=" \frac{\partial ЧАС}{\partial п} - \frac{\partial}{\partial п} \frac{\partial Ф}{\partial т} "=" \dot{Икс} - 0 "=" \dot{Икс}

$\frac{\partial H'}{\partial p'}=\frac{\partial H}{\partial p}- \frac{\partial}{\partial p} \frac{\partial F}{\partial t}=\dot x-0=\dot x$ и

\frac{\partial {ЧАС}^{'}}{\partial Икс} "=" \frac{\partial ЧАС}{\partial Икс} - \frac{\partial}{\partial Икс} \frac{\partial Ф}{\partial т} "=" - \dot{п} - \frac{\partial}{\partial т} \frac{\partial Ф}{\partial Икс}

$\frac{\partial H'}{\partial x}=\frac{\partial H}{\partial x}- \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial t}= -\dot p-\frac{\partial }{\partial t} \frac{\partial F}{\partial x}$ Именно с этим последним уравнением у меня возникли проблемы. Чтобы удовлетворить уравнениям Гамильтона, правая часть должна быть равна

{\dot{p}}^{'} = \frac{d}{d t} (p + \frac{\partial F}{\partial x})

$\dot p'= \frac{d}{dt}(p+\frac{\partial F}{\partial x})$ однако я получаю частную производную от последнего члена, а не полную производную, как это должно быть. Как можно обосновать это как удовлетворяющее уравнениям Гамильтона?

Редактировать

Кажется, что ошибка возникает при взятии части $H'$ . При подаче заявления $\partial/\partial x$ к $H'(x,p')$ мы неявно придерживаемся $p'$ постоянная, где как $\partial H/\partial x=- \dot p$ верно только тогда, когда мы держим $p$ постоянный, не $p'$ . Обходной путь - использовать форму $H'=p' \dot x-L'$ так как функциональная зависимость очевидна. Затем

\frac{\partial {ЧАС}^{'}}{\partial Икс} "=" - \frac{\partial л^{'}}{\partial Икс} "=" - \frac{\partial л}{\partial Икс} - \frac{\partial}{\partial Икс} \frac{г Ф}{г т} "=" - \frac{г}{г т} (\frac{\partial л}{\partial \dot{Икс}} + \frac{\partial Ф}{\partial Икс}) "=" - {\dot{п}}^{'}

$\frac{\partial H'}{\partial x}= -\frac{\partial L'}{\partial x} = -\frac{\partial L}{\partial x}- \frac{\partial}{\partial x} \frac{d F}{dt}= -\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot x} + \frac{\partial F}{\partial x}\right) = -\dot p'$ где Эйлер-Лагранж использовал предпоследнее равенство. Я все еще не знаю, как применить цепное правило к моему исходному выражению, чтобы получить правильный результат.

Qмеханик

Возможные дубликаты : physics.stackexchange.com/q/127280/2451 , physics.stackexchange.com/q/202330/2451 .

пользователь138458

@Qmechanic Я не понимаю, как это дубликат, я спрашиваю об очень конкретном шаге доказательства, на который нет ответа в другом вопросе.

Qмеханик

Совет: используйте цепное правило с несколькими переменными.

пользователь138458

@Qmechanic Где можно применить цепное правило?

Либертарианский феодал-бот

Калибровочное преобразование должно оставлять лагранжиан инвариантным. Это не калибровочное преобразование.

Ответы (2)

Калибровочная инвариантность гамильтониана

Возможные дубликаты : physics.stackexchange.com/q/127280/2451 , physics.stackexchange.com/q/202330/2451 .
@Qmechanic Я не понимаю, как это дубликат, я спрашиваю об очень конкретном шаге доказательства, на который нет ответа в другом вопросе.
Совет: используйте цепное правило с несколькими переменными.
@Qmechanic Где можно применить цепное правило?
Калибровочное преобразование должно оставлять лагранжиан инвариантным. Это не калибровочное преобразование.

TLDR · Answer 1

Это ситуация, когда полезно быть очень осторожным в том, что все означает. Во-первых, (очень привередливо) правая часть должна быть равна $-\dot{p}'$ (с $F=-\nabla_x V$ .)

Во-вторых, (подсказка) оператор $\partial_x$ имеет несколько иной смысл при воздействии на функции $p,x$ и функции $p',x$ .

Отвечать:

Применяя цепное правило явно,

\begin{aligned} \partial_{Икс} |_{п^{'}} {ЧАС}^{'} & "=" \frac{\partial ЧАС}{\partial Икс} |_{п} + \frac{\partial ЧАС}{\partial п} |_{Икс} \frac{\partial п}{\partial Икс} |_{п^{'}} - \frac{\partial}{\partial Икс} \frac{\partial Ф}{\partial т} (с Ф зависит только от Икс, т) \\ "=" - \dot{п} + \dot{Икс} (- \frac{\partial}{\partial Икс} |_{п^{'}} \frac{\partial}{\partial Икс} Ф (Икс, т)) - \frac{\partial}{\partial Икс} \frac{\partial Ф}{\partial т} \\ "=" - \dot{п} - \dot{Икс} \partial_{Икс}^{2} |_{п^{'}} Ф (Икс, т) - \partial_{Икс} \partial_{т} Ф \\ "=" - {\dot{п}}^{'} \end{aligned}

$\begin{align*} \partial_x|_{p'} H' &= \frac{\partial H}{\partial x}\Big|_p+\frac{\partial H}{\partial p}\Big|_x\frac{\partial p}{\partial x}\Big|_{p'}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial F}{\partial t}\quad \text{(since $F$ depends only on $x,t$)}\\ &=-\dot{p}+\dot{x}\Big(-\frac{\partial}{\partial x}\Big|_{p'}\frac{\partial}{\partial x}F(x,t)\Big)-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial F}{\partial t}\\ &=-\dot p-\dot x\partial_x^2|_{p'}F(x,t)-\partial_x\partial_tF \\ &=-\dot p' \end{align*}$

Спасибо, я нашел обходной путь, чтобы получить результат. Я все еще не уверен, как можно применить $\partial_x$ к $H'$ хотя. Можете ли вы уточнить?

Либертарианский феодал-бот · Answer 2

Во-первых, канонический гамильтониан в классической механике и (или канонический тензор энергии-импульса в классической теории поля) обычно не обязательно калибровочно инвариантны.

Например, гамильтониан электрона массы m и заряда e во внешнем электромагнитном поле имеет вид

ЧАС "=" \frac{1}{2 м} (п - (е / с) А)^{2} + е ф,

$H=\frac{1}{2m}(p-(e/c)A)^2+e\varphi,$

что, очевидно, не является калибровочно-инвариантным. Причина в том, что внешние электромагнитные поля в лагранжиане фигурируют как нединамические переменные.

Во-вторых, преобразование

л^{'} "=" л + \frac{г Ф}{г т}

$L'=L+ \frac{dF}{dt}$

вы упомянули в своем вопросе, это не калибровочное преобразование. Лагранжиан всегда определяется с точностью до полной производной, но он должен быть инвариантным относительно калибровочных преобразований.

Говоря о симметриях в классической механике и классической теории поля, следует различать два типа «симметрий»: физическую симметрию (динамическую) и калибровочную избыточность (нединамическую). Калибровочная избыточность возникает из-за свободы выбора того, как он может сформулировать действие. В лангранжевом формализме классической теории поля обычно встречаются калибровочные регандансы, когда имеются нединамические переменные. Например, в классическом электромагнетизме $A_{0}$ компонент не является динамическим, поскольку плотность лагранжиана не зависит от его производной по времени $\dot{A}_{0}$ . Другой пример — метрический тензор мирового листа в теории струн. Другими словами, по теореме о неявной функции нельзя найти соответствующий канонический гамильтониан с помощью преобразования Лежандра, поскольку гессиан

\frac{\partial^{2} л}{\partial {\dot{д}}^{я} \partial {\dot{д}}^{Дж}}

$\frac{\partial^{2}L}{\partial\dot{q}^{i}\partial\dot{q}^{j}}$

является сингулярной матрицей.

В вашем случае вы не должны называть преобразование калибровочным преобразованием. Но если вас интересуют калибровочные избыточности в вашем лагранжиане $L(x,\dot{x},t)$ , то вы должны обработать переменную $t$ как отдельная нединамическая переменная. Тогда наивный гамильтониан

ЧАС "=" \dot{Икс} п - л

$H=\dot{x}p-L$

вы дали вообще не имеет никакого смысла. Это потому, что действие

С [т, д (т)] "=" \int_{а}^{б} г т л (д, \dot{д}, т)

$S[t,q(t)]=\int_{a}^{b} dtL(q,\dot{q},t)$

теперь обладает репараметризационной инвариантностью $t$ , что явно является калибровочной избыточностью. Для конкретности можно проверить, что при перепараметризации переменной $t$ который оставляет конечные точки $t=a$ и $t=b$ фиксируется, действие становится

дельта С [т, д (т)] "=" \int_{а}^{б} (\frac{\partial л}{\partial \dot{д}} \dot{д} - л) дельта т г т .

$\delta S[t,q(t)]=\int_{a}^{b}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\dot{q}-L\right)\delta tdt.$

Приведенный выше интеграл должен обращаться в нуль для произвольного $\delta t$ это зафиксировано на $t=a$ и $t=b$ , таким образом

ЧАС "=" п \dot{д} - л \equiv 0.

$H=p\dot{q}-L\equiv 0.$

Таким образом, наивный канонический гамильтониан тождественно равен нулю. Обратите внимание, что приведенный выше наивный гамильтониан исчезает независимо от того, является ли действие экстремальным, а это означает, что это математическое тождество, которое выполняется также вне оболочки.

Примером такого случая является геодезическая риманова многообразия, параметризованная выражением $q^{0}\equiv t$ . Переменная времени $t$ становится нединамическим, и лагранжиан явно зависит от $t$ через метрический тензор $g_{\mu\nu}(t,q^{1}(t),q^{2}(t),q^{3}(t))$ .

В вашем случае канонический импульс $\pi$ переменной $t$ исчезает, но гессиан имеет обратимый блок

Λ_{я Дж} "=" \frac{\partial^{2} л}{\partial {\dot{д}}^{я} \partial {\dot{д}}^{Дж}} .

$\Lambda_{ij}=\frac{\partial^{2}L}{\partial\dot{q}^{i}\partial\dot{q}^{j}}.$

В принципе можно решить $\dot{q}^{i}$ с точки зрения переменных $t$ , $q^{i}$ , $\pi$ , и $p_{i}$ . Подключив эти решения обратно к определению канонических импульсов, можно решить $\dot{q}^{i}$ с точки зрения $t$ , $q^{i}$ , $\pi$ , $p^{i}$ , и получим уравнение связи на фазовое пространство:

ф (т, д, π, п) "=" 0.

$\phi(t,q,\pi,p)=0.$

Это означает, что наивные канонические переменные $\left\{t,q,\pi,p\right\}$ на фазовом пространстве не являются независимыми. Это известно как система ограничений , которую изучал Дирак. Физическое фазовое пространство (уменьшенное фазовое пространство) должно быть фиксированным по калибровке и даже размерным.

Калибровочная инвариантность гамильтониана

Анонимный

Qмеханик

пользователь138458

Qмеханик

пользователь138458

Либертарианский феодал-бот

Ответы (2)

TLDR

пользователь138458

TLDR

Либертарианский феодал-бот

Можно ли обычным способом найти потенциальную функцию, если центральное поле по своей величине содержит ttt?

Лагранжева калибровочная инвариантность L′=L+df(q,t)dtL′=L+df(q,t)dtL’=L+\frac{df(q,t)}{dt}

Различные результаты для гамильтониана диска, катящегося по наклонной плоскости

Как найти гамильтониан из этого простого лагранжиана? (сложный)

Лагранжиан в гамильтониан

Использование тензоров на лагранжиане и гамильтониане

Вычислить преобразование Лежандра для сингулярного лагранжиана

Инвариантность канонического уравнения Гамильтона при добавлении полной производной по времени функции от qiqiq_i и ttt к лагранжиану

Преобразование Лежандра лагранжиана с ограничениями

Противоречие в лагранжевом и гамильтоновом формализме?