Инвариантность канонического уравнения Гамильтона при добавлении полной производной по времени функции от qiqiq_i и ttt к лагранжиану

Если

$$L \to L' = L +\frac{dF(q,t)}{dt}$$ соответствующий гамильтониан становится $$H \to H' = H - \frac{\partial F(q,t)}{\partial t}$$ как показано здесь . Более того, канонический импульс становится $$p \to P = p + \frac{\partial F}{\partial q}$$ пока $$q \to Q = q$$ как показано здесь .

Эти формулы позволяют явно проверить инвариантность уравнений Гамильтона. Конкретно,

$$\begin{align} \frac{dq}{dt} &= \frac{\partial H}{\partial p} \notag \\ \end{align}$$ становится $$\begin{align} \frac{dQ}{dt} &= \frac{\partial H'}{\partial P} \\ \therefore \quad \frac{dq}{dt} &= \frac{\partial \left(H - \frac{\partial F(q,t)}{\partial t} \right)}{\partial P} \\ \therefore \quad \frac{dq}{dt} &= \frac{\partial H}{\partial P} - \frac{\partial }{\partial P} \left( \frac{\partial F(q,t)}{\partial t} \right) \\ \therefore \quad \frac{dq}{dt} &= \frac{\partial H}{\partial P} \\ \therefore \quad \frac{dq}{dt} &= \frac{\partial H}{\partial p} \frac{\partial P}{\partial p} \\ \therefore \quad \frac{dq}{dt} &= \frac{\partial H}{\partial p} \quad \checkmark \end{align}$$ где я это использовал$F$не зависит от$P$и $$\frac{\partial P}{\partial p} =\frac{\partial }{\partial p} \left( p+ \frac{\partial F}{\partial q} \right) = 1.$$

Аналогично можно проверить второе уравнение Гамильтона:

$$\frac{dp}{dt}= -\frac{\partial H(q,p,t)}{\partial q} .$$ Однако есть тонкость . После преобразования имеем в правой части$\frac{\partial H'(Q,P,t)}{\partial Q}$. Но здесь нужно учитывать, что$p$также зависит от$q$, с$p \to P = p + \frac{\partial F(Q,t)}{\partial Q}$. Поэтому $$\begin{align} \frac{\partial H'(Q,P,t)}{\partial Q} &= \frac{\partial H'(Q,p + \frac{\partial F}{\partial q} ,t)}{\partial Q} \\ &= \frac{\partial H'(Q,p,t)}{\partial Q} + \frac{\partial H(Q,p,t) }{\partial p} \frac{\partial p}{\partial Q} \\ &= \frac{\partial H(Q,p,t)}{\partial Q} - \frac{\partial^2 F(Q,t)}{\partial Q \partial t} + \frac{\partial H(Q,p,t) }{\partial p} \frac{\partial p}{\partial Q} \\ &= \frac{\partial H(Q,p,t)}{\partial Q} - \frac{\partial^2 F(Q,t)}{\partial Q \partial t} + \dot Q \frac{\partial \left(P- \frac{\partial F}{\partial q} \right)}{\partial Q} \\ &= \frac{\partial H(Q,p,t)}{\partial Q} - \frac{\partial^2 F(Q,t)}{\partial Q \partial t} - \dot Q \frac{\partial }{\partial Q} \frac{\partial F}{\partial q} \\ &= \frac{\partial H(Q,p,t)}{\partial Q} - \frac{d}{dt} \frac{\partial F}{\partial Q} \,. \end{align}$$ где мы это использовали $$\frac{d}{dt} \frac{\partial F}{\partial Q}= \frac{\partial^2 F(Q,t)}{\partial Q \partial t} + \dot Q \frac{\partial }{\partial Q} \frac{\partial F}{\partial q} .$$

Используя это, мы можем переписать второе уравнение Гамильтона после преобразования следующим образом:

$$\begin{align} \frac{dP}{dt}&= -\frac{\partial H'(Q,P,t)}{\partial Q} \\ \therefore \quad \frac{d}{dt} \left( p+ \frac{\partial F(q,t)}{\partial q} \right) &= \frac{\partial H(Q,p,t)}{\partial Q} - \frac{d}{dt} \frac{\partial F}{\partial Q} \\ \therefore \quad \frac{dp}{dt} + \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial F(q,t)}{\partial q} \right)&= \frac{\partial H(Q,p,t)}{\partial Q} - \frac{d}{dt} \frac{\partial F}{\partial Q} \\ \therefore \quad \frac{dp}{dt} &= -\frac{\partial H}{\partial q} \quad \checkmark \end{align}$$

РЕДАКТИРОВАТЬ: здесь также была отмечена тонкость , но, к сожалению, без ответа, а несколько лет назад была даже статья , которая этого не заметила и утверждала, что уравнения Гамильтона не инвариантны.

Как вы пишете в комментариях,

$$\frac{\mathrm dF}{\mathrm dt}=\frac{\partial F}{\partial q}\dot{q}+\frac{\partial F}{\partial t}$$ Итак, вставив это в лагранжиан, $$L'=L+\frac{\partial F}{\partial q}\dot{q}+\frac{\partial F}{\partial t}$$

Гамильтониан$H=p\dot q-L$подразумевает

$$H'=p'\dot{q}-L'=p\dot q+something\tag{1}$$ где$something$это для вас, чтобы работать. С$p=\partial L/\partial \dot q$, то следует считать, что$p'=\partial L'/\partial\dot q$. Это не обязательно для этой конкретной проблемы, но вы можете решить для$p'$.

Гамильтонов формализм утверждает, что$q$,$\dot q$и$p$независимы, поэтому аналогично предполагаем, что$q$,$\dot{q}$и$p'$являются независимыми; следовательно$\partial L/\partial p=0\to\partial L'/\partial p'=0$.

Итак, теперь все, что вам нужно сделать, это решить

$$\frac{\partial H'}{\partial p'}\text{ and }-\frac{\partial H'}{\partial q}$$ используя уравнение (1) чтобы увидеть, сохраняет ли преобразование в лагранжиане гамильтониан EOM (подсказка: сохраняет). Обратите также внимание, что я предполагаю одну координату$q$, на самом деле нет большой разницы между$q_i$для$i=1$и$i\in(1,N)$.