Помогите с символами Кристоффеля для задачи геометрической механики?

Question

Помогите с символами Кристоффеля для задачи геометрической механики?

Джеффри Ролланд

Я работаю над книгой «Геометрический контроль механических систем » Булло и Льюиса https://www.amazon.com/gp/product/0387221956/ и застрял на проблеме E4-18. Очевидно, в какой-то момент проблема была предметом исследовательской работы https://pdfs.semanticscholar.org/387d/4bb1c336aa0da87ab1d3a59f53532a2c74d2.pdf . Я пытаюсь воспроизвести то, что сделали авторы в этой статье, чтобы решить проблему Булло и Льюиса. Принимая функцию кинетической энергии авторов статьи как правильную, включая их «риманову метрику кинетической энергии», я пытаюсь воспроизвести их уравнения движения из лагранжиана.

Взятие производной лагранжиана для получения уравнений движения с кинетической энергией римановой метрики, очевидно, включает использование символов Кристоффеля, согласно Булло и Льюису. Я вычислил 4 символа Кристоффеля с $\theta$ «вверху», для использования в первом уравнении движения для $\ddot{\theta}$ , и я понимаю, что 2 из них, те, что $z\theta$ и $\theta z$ внизу ненулевые и одинаковые, что приводит к $-2mz\dot{z}\dot{\theta}$ член в первом уравнении движения для $\ddot{\theta}$ . я тоже это понимаю $\Gamma^{\theta}_{zz} = 0$ .

Однако я получаю ненулевое значение для $\Gamma^{\theta}_{\theta\theta}$ , что должно привести к $mlz\dot{\theta}^2$ член в уравнении движения для $\ddot{\theta}$ , но авторы статьи не указали член в своем уравнении движения для $\ddot{\theta}$ .

Может ли кто-нибудь помочь мне понять, что я делаю неправильно? Большое спасибо заранее.

QuantumEyedea

Я не могу получить доступ к страницам учебника, поэтому было бы полезно узнать, в чем проблема. Я предполагаю, что вы вычисляете символы Кристоффеля

Γ_{b c}^{a}

$\Gamma^{a}_{\ bc}$ для цилиндрических координат

(x^{1}, x^{2}, x^{3}) = (r, θ, z)

$(x^1,x^2,x^3)=(r,\theta,z)$ ?

Эли

почему вы не используете формализм Лагранжа для управления EOM

\frac{г}{г т} (\frac{\partial л}{\partial \dot{д_{я}}}) - \frac{\partial л}{\partial д_{я}} "=" 0 д_{1} "=" ϑ, д_{2} "=" г

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right) -\frac{\partial L}{\partial q_i}=0\,\quad q_1=\vartheta\,,q_2=z$

Джеффри Ролланд

@Greg.Paul Большое спасибо за ответ! Координаты просто

(θ, z)

$(\theta,z)$ :

θ

$\theta$ угол платформы;

l

$l$ - перпендикулярное расстояние канала от точки вращения (параметр, а не переменная величина); и

z

$z$ расстояние от центра канала. Задача состоит в том, чтобы (а) вычислить кинетическую энергию и «риманову метрику кинетической энергии» (б) вычислить потенциальную энергию (в) вычислить символы Кристоффеля (римановой метрики кинетической энергии) и (г) вычислить уравнения движения.

Джеффри Ролланд

@Eli Большое спасибо за ответ! Простое использование того, что вы записали с лагранжианом в статье, не воспроизводит уравнения движения в статье; очевидно, необходимо включить символы Кристоффеля. Я никогда раньше не вычислял EOM из лагранжиана с символами Кристоффеля, и, очевидно, сейчас делаю это неправильно.

Ответы (1)

Помогите с символами Кристоффеля для задачи геометрической механики?

Я не могу получить доступ к страницам учебника, поэтому было бы полезно узнать, в чем проблема. Я предполагаю, что вы вычисляете символы Кристоффеля $\Gamma^{a}_{\ bc}$ для цилиндрических координат $(x^1,x^2,x^3)=(r,\theta,z)$ ?
почему вы не используете формализм Лагранжа для управления EOM $\frac{г}{г т} (\frac{\partial л}{\partial \dot{д_{я}}}) - \frac{\partial л}{\partial д_{я}} "=" 0 д_{1} "=" ϑ, д_{2} "=" г$ $\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right) -\frac{\partial L}{\partial q_i}=0\,\quad q_1=\vartheta\,,q_2=z$
@Greg.Paul Большое спасибо за ответ! Координаты просто $(\theta,z)$ : $\theta$ угол платформы; $l$ - перпендикулярное расстояние канала от точки вращения (параметр, а не переменная величина); и $z$ расстояние от центра канала. Задача состоит в том, чтобы (а) вычислить кинетическую энергию и «риманову метрику кинетической энергии» (б) вычислить потенциальную энергию (в) вычислить символы Кристоффеля (римановой метрики кинетической энергии) и (г) вычислить уравнения движения.
@Eli Большое спасибо за ответ! Простое использование того, что вы записали с лагранжианом в статье, не воспроизводит уравнения движения в статье; очевидно, необходимо включить символы Кристоффеля. Я никогда раньше не вычислял EOM из лагранжиана с символами Кристоффеля, и, очевидно, сейчас делаю это неправильно.

Эли · Answer 1

Я думаю, что вы можете управлять EOM's от Лагранжиана?

\begin{aligned} \frac{г}{г т} (\frac{\partial л}{\partial \dot{д_{я}}}) - \frac{\partial л}{\partial д_{я}} "=" 0 д_{1} "=" ϑ, д_{2} "=" г \\ л "=" (м (г^{2} + л^{2}) + \frac{1}{2} я) {\dot{ϑ}}^{2} - 2 м л \dot{ϑ} \dot{г} + м {\dot{г}}^{2} \\ (\frac{\partial л}{\partial \dot{ϑ}}) "=" 2 (м (г^{2} + л^{2}) + \frac{1}{2} я) \dot{ϑ} - 2 м л \dot{г} \\ \frac{г}{г т} (\frac{\partial л}{\partial \dot{ϑ}}) "=" 2 (м (г^{2} + л^{2}) + \frac{1}{2} я) \ddot{ϑ} - 2 м л \ddot{г} + 4 м \dot{г} \dot{ϑ} \\ \frac{\partial л}{\partial ϑ} "=" 0 \\ МНВ для ϑ \\ (м (г^{2} + л^{2}) + \frac{1}{2} я) \ddot{ϑ} - м л \ddot{г} + 2 м \dot{г} \dot{ϑ} "=" 0 \sqrt ? ? \end{aligned}

$\begin{align*} &\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right) -\frac{\partial L}{\partial q_i}=0\,\quad q_1=\vartheta\,,q_2=z\\\\ &L=\left(m\left(z^2+l^2\right)+\frac{1}{2}I\right)\dot{\vartheta}^2 -2\,m\,l\dot{\vartheta}\dot{z}+m\,\dot{z}^2\\ &\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\vartheta}}\right)= 2\left(m\left(z^2+l^2\right)+\frac{1}{2}I\right)\dot{\vartheta}- 2\,m\,l\dot{z}\\ &\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\vartheta}}\right)= 2\left(m\left(z^2+l^2\right)+\frac{1}{2}I\right)\ddot{\vartheta}- 2\,m\,l\ddot{z}+4\,m\,\dot{z}\,\dot{\vartheta}\\ &\frac{\partial L}{\partial \vartheta}=0\\\\ &\text{EOM for $\vartheta$}\\ &\boxed{\left(m\left(z^2+l^2\right)+\frac{1}{2}I\right)\ddot{\vartheta}- \,m\,l\ddot{z}+2\,m\,\dot{z}\dot{\vartheta}=0}\quad \surd ?? \end{align*}$

Помогите с символами Кристоффеля для задачи геометрической механики?

Джеффри Ролланд

QuantumEyedea

Эли

Джеффри Ролланд

Джеффри Ролланд

Ответы (1)

Эли

Использование тензоров на лагранжиане и гамильтониане

Глупый вопрос о кинематике и символах Кристоффеля

Выражение лагранжевого векторного поля

Применение уравнений Эйлера-Лагранжа (Тривиальная задача, поучительная)

Можно ли обычным способом найти потенциальную функцию, если центральное поле по своей величине содержит ttt?

Вычисление символов Кристоффеля из лагранжиана

Каким должно быть строгое определение векторов положения и какова их роль в дифференциальной геометрии?

Масса, висящая под столом: проблема от Гольдштейна [закрыто]

Лагранжева калибровочная инвариантность L′=L+df(q,t)dtL′=L+df(q,t)dtL’=L+\frac{df(q,t)}{dt}

Вопрос от Шутца