Категориальное введение в алгебру и топологию

В данный момент я читаю книги по алгебре и по теории категорий. Точнее, я начал работать с книгой Сержа Ланга «Алгебра» . Я прочитал главы о группах и кольцах, но потом моя мотивация как-то пропала, и я обратился к теории категорий.

Точнее, я начал читать «Категории для работающих математиков» Сондерса Маклейна. Теперь я чувствую себя комфортно со всеми понятиями, обсуждавшимися в первых пяти главах, т. е. с категориями и функторами, а также с обычными формулировками универсальных свойств.

Я бы очень хотел продолжать читать об алгебре, но как только я понял структурные подходы к математике, я с трудом могу представить себе, чтобы продолжать делать все эти ужасные вычисления, базовые книги по алгебре, такие как книги Ланга, заполнены вместо того, чтобы использовать универсальные свойства и так далее. .

Итак, в основном, мой вопрос в том, есть ли книги по алгебре, не предполагающие каких-либо алгебраических знаний, но широко использующие методы теории категорий. Конечно, очень нестандартно охватить всю базовую теорию категорий, прежде чем переходить к приложениям по алгебре, но я надеюсь, что кто-нибудь знает книгу или какие-то конспекты лекций, удовлетворяющие мои потребности.

Кроме того, я хотел бы изучить некоторую топологию. В этой области у меня еще меньше знаний, чем в алгебре, т.е. я даже не знаю определения топологического пространства. Мой вопрос такой же, как и в случае с алгеброй: существует ли категориальное/концептуальное введение в общую топологию?

Я думаю, вам будет трудно найти категориальную основу для топологии множества точек (алгебраическая топология — это отдельная история) — отчасти это связано с тем, что топология множества точек по существу основана на теории множеств. Как только вы получите категорию Т о п вы можете начать что-то делать с ним, используя инструменты из теории категорий, но определив Т о п сам по себе требует некатегоричной структуры (даже если вы хотите определить топологическое пространство по его категории открытых множеств, вам все равно нужна аксиоматизация топологии).
"...моя мотивация как-то исчезла..." Лэнг может иметь такой эффект. Это более впечатляющая книга , когда вы знаете материал и используете его в качестве справочного материала. Для обучения это немного аскетично на мой вкус, и я не думаю, что я единственный. Попробуйте Хангерфорд. Тот же материал, но более удобный для пользователя.

Ответы (10)

Книга Паоло Алуффи « Алгебра: Глава 0» — это как раз то, что вам нужно, я думаю, для алгебраической части.

Что касается топологической части, я не знаю каких-либо введений в общую топологию, которые были бы настолько категоричными, но я думаю, что топология точечных множеств, поскольку она так близка к теории множеств, не совсем подходит для интересных и полезных категориальных рассуждений. мышление в целом. Но это мое мнение. С другой стороны, алгебраическая топология — это нечто совершенно другое, но тоже не по теме.

Я уже встречал эту книгу. Но дальше констатации универсальных свойств продуктов и сопопродуктов дело не идет, не так ли? Сопряженные функторы, пределы, лемма Йонеды и все такое полностью игнорируются, если я правильно помню оглавление. Все эти вещи для меня так прекрасны, я хотел бы увидеть их "в действии".
Это выходит за рамки этого. Мысль книги категорична, и, насколько я помню, каждое понятие, которое может быть введено и объяснено категорически, объясняется именно так. Некоторые понятия вводятся по мере необходимости (это книга по алгебре, а не книга по теории категорий), например, присоединенные функторы, которые вводятся для объяснения свободно-забывающего присоединения. Это уже намного больше, чем можно сказать о множестве книг по алгебре, в которых объясняются свободные объекты (группы, модули...). Йонеда появляется в упражнениях, может быть, потому, что это не так очевидно в первом курсе алгебры.
Чтобы увидеть лемму Йонеды в действии, вы должны, например, заняться алгебраической геометрией :) но для этого вам нужно сначала изучить базовую абстрактную алгебру! Также важно помнить, что не все можно сделать/объяснить категорично. Например, много материала в стандартном введении в теорию групп.
«Кроме того, важно помнить, что не все можно сделать/объяснить категорично. Например, много материала в стандартном введении в теорию групп». — Вероятно, это по большей части неверно . Реальность больше похожа на: «Мы действительно не знаем, как это работает», и что классическое мышление становится огромным препятствием (например, как обрабатываются подобъекты). Знаю это г р п является конкретной, строго протомодулярной точечной алгебраической категорией, уже дающей огромное количество теорем теории групп. При этом: многие вещи, очевидно, еще не проработаны.
@StefanPerko: я не уверен (мягко говоря). Дают ли прилагательные, которыми вы охарактеризовали категорию групп, хоть какой-то намек на такие элементарные утверждения, как, например, теоремы Силова?
@BrunoStonek Не знаю. Я могу попытаться изучить именно этот вопрос, когда буду писать бакалаврскую диссертацию (по категориальной алгебре). В этом главная проблема: многие вещи еще не проработаны (или, по крайней мере, не известны широкой публике). Я скромный студент - у меня сейчас не так много сил на все это.
Но мы знаем, что, например, регулярных (подразумеваемых алгебраическими), точечных, протомодулярных достаточно, чтобы доказать теоремы Нётер об изоморфизме (с «нормальными подобъектами», а не сравнениями) и различные теоремы из гомологической алгебры. Похоже, что в полуабелевых категориях также существуют понятия нормализатора и централизатора.
@StefanPerko Я все еще не думаю, что вы можете получить «огромный кусок» теорем теории групп , просто разбрасывая категориальные прилагательные ... наоборот. Я люблю теорию категорий, но будьте осторожны, думать, что некоторые математические вычисления не описываются в этих терминах, потому что они «еще не разработаны», в лучшем случае вводит в заблуждение. Возьмите любую серьезную книгу по теории групп, например, по теории конечных групп... вы увидите много-много теорем, которые вам будет трудно осмысленно интерпретировать категорически. Теория групп намного, намного больше, чем теоремы изоморфизма и нормализаторы!
@BrunoStonek Я не это имел в виду. Очевидно, что очень специальные результаты (многие из которых, вероятно, выходят за рамки первого знакомства с группами) не имеют никакого обобщения ни на одну из этих хорошо известных категорий. Но это не значит, что нельзя/не следует использовать категориальный язык при их изучении. - "которых вам трудно осмысленно трактовать категорично", именно потому, что мы к этому совсем не привыкли

Категорически развивать алгебру, к сожалению, сложно, потому что необходимый материал разбросан по ряду, казалось бы, не связанных между собой книг и статей. Еще одна трудность состоит в том, что смешение теоретико-множественных основ с категориальным языком несколько усложняет понимание. У меня есть список для чтения, из которого вы можете изучить категориальную перспективу, но на самом деле это довольно много материала, и ни один из них не взят из учебников, поэтому учиться на нем довольно медленно. В частности, вы на самом деле не изучите алгебру, и вам будет лучше получать практические знания, скажем, от Алуффи. В любом случае, ниже приведен список, организованный в несколько логическом порядке, но на самом деле вам следует читать все сразу.

Во-первых, вам нужно понять, что категория множеств является четко определенным топосом, внутренним по отношению к синтаксической (би)-категории предикатов и функциональных (предикатов) классов. Для этого вы хотите посмотреть на

  • Эскизы слона : сначала прочитайте раздел D1. Это примерно то, как логика первого порядка выглядит на категориальном языке. Вы хотите понять синтаксическую (би)категорию предикатов и функциональных (предикатов) классов, связанных с теорией первого порядка. Во-вторых, прочтите разделы A1 и A2, чтобы понять, как выглядит топос (отсюда и «теория множеств») в категоричной форме.

Во-вторых, алгебра на самом деле связана с монадами в том смысле, что любая категория алгебраических объектов является категорией алгебр для монады. Для этого следует прочитать

Далее вам потребуются некоторые знания расширенной теории категорий в моноидальных закрытых категориях, поскольку, поскольку большинство монад базовой алгебры происходит от моноидных объектов в моноидальной замкнутой категории (например, групповые действия являются алгебрами для монады, связанной с групповым объектом в Set , векторные пространства являются алгебрами для простых объектов в категории моноидных объектов в категории абелевых групп и т. д.). Соответствующим материалом для понимания конструкций этих категорий являются первые несколько глав книги.

Именно здесь, при рассмотрении перспективы расширенной теории категорий, решающее значение имеет хорошее понимание категории множеств как четко определенного топоса. Без меткости вы не сможете сделать много выводов о категориях функторов, которые вы строите, и о том, какими в конечном счете являются различные категории алгебраических объектов.

Наконец, есть статьи «Монады на симметричных моноидальных категориях» и «Замкнутые категории, порожденные коммутативными монадами» Андерса Кока, в которых рассматривается тот факт, что алгебры для коммутативных монад наследуют моноидальную замкнутую структуру, когда коммутативная монада находится в моноидальной замкнутой категории. Вот откуда, например, действительно берутся тензорные произведения.

Что касается топологии, в книге «Категорные основы» также есть глава III: Функциональный подход к общей топологии, которая весьма поучительна, но вам, вероятно, следует читать ее только одновременно с настоящей книгой по топологии, такой как Munkres .

Текст Рональда Брауна «Топология и группоиды» — это, вероятно, то, что вам нужно от текста по топологии. Он дает введение в общую топологию и фундаментальный группоид, используя язык теории категорий. Это отличный учебник. Я бы также поддержал рекомендации других авторов учебника алгебры Алуффи; это очень хорошо написано и удобно для начинающих. Для гомологической алгебры я бы рекомендовал текст Вейбеля .

Это также будет моей рекомендацией. Книга Ронни широка и очень категорична в своем подходе. Не все можно доказать просто с помощью теоретико-категориальных методов, но часто таким образом можно мотивировать построения. (Иногда вам нужно «запачкать» руки, а не просто манипулировать вещами на расстоянии.) В качестве плюса группоиды отлично подходят для понимания алгебры.

Я, конечно, спрашивал себя об этом некоторое время назад (я все еще учусь на бакалавриате), и я нашел Алуффи: Алгебра Глава 0 , чтобы быть самым захватывающим, интересным и категоричным введением в абстрактную алгебру, о которых я знаю.

Я должен сказать, что я даже ненавидел всесвязанный с алгеброй в течение моих первых месяцев обучения в бакалавриате; затем я взялся за линейную алгебру, и это было не так уж плохо, но это было во время углубленного курса линейной алгебры, где я внезапно узнал несколько интересных вещей о кольцах, модулях, поиске диаграмм и канонических формах с продвинутой точки зрения (например, как Крулл -теорема Шмидта участвует в единственности таких разложений). Мне, второкурснику, было очень трудно освоить курс, не сильно утомившись, но это было просто потрясающе, так что я резко начал менять свое отношение к абстрактной алгебре навсегда. В этот момент я открыл для себя книгу Алуффи, и она стала для меня вечной классикой с первого момента. Я думаю, что каждый серьезный студент должен взглянуть на эту книгу, независимо от того, любит он алгебру или нет. Жаль, что я не наткнулся на эту книгу раньше,

Что касается книги по топологии, я хочу порекомендовать книгу, написанную самим моим профессором топологии. Как было указано ранее, « Алгебраическая топология Агилара, Гитлера и Прието с гомотопической точки зрения» — очень хорошая книга по алгебраической топологии, в которой, когда это возможно, используются некоторые приемы из теории категорий. Здесь, в моем университете, это обычно считается книгой для выпускников, но на самом деле есть еще одна книга по топологии, написанная (на испанском языке) Карлосом Прието, " Основная топология" ., который предназначен для студентов бакалавриата и полностью сосредоточен на разработке точечно-множественной топологии и базовой алгебраической топологии с сильным категорическим и геометрическим уклоном, хотя на самом деле не используется много тяжелой техники (на самом деле, он предназначен для использования в качестве прочная ступенька к более продвинутым книгам по алгебраической топологии.Это может быть очень хорошей книгой для студентов с алгебраическим складом ума, которые проходят первый курс по топологии, или для всех, кто интересуется изучением алгебраической топологии, поскольку она охватывает базовый материал по топологии с множеством точек, а также хорошо)

К счастью, существует английский перевод книги, который разбит на две части: « Элементы топологии точечных множеств» и «Элементы гомотопической теории» . Здесь можно найти оба курса, а также некоторые незаконченные заметки, посвященные расслоениям и гомологиям/когомологиям с точки зрения гомотопии [ http://paginas.matem.unam.mx/cprieto/archivos/libros]

Если вы понимаете немецкий язык (а согласно вашему исходному сообщению я так и предполагаю), для введения в топологию с оттенком теории категорий я бы посоветовал вам взглянуть на «Grundkurs Topologie» Герда Лауреса и Маркуса Шимика. Это может быть как раз то, что вы ищете. Хотя я сомневаюсь, что вы увидите Йонеду «в действии».

Насколько я могу судить, я согласен с лентической катахрезой, когда он говорит, что книга Алуффи является очень хорошим введением в алгебру в категориальном контексте, хотя я обнаружил, что учебник Ланга также является хорошим справочником, особенно для более сложных тем.

В любой книге по гомологической алгебре интенсивно используется теория категорий, что неудивительно, учитывая, что теория категорий была создана для решения проблем в этих областях.

С топологической точки зрения я изучал топологию Манетти . На мой взгляд, это действительно хорошая вводная книга по общей топологии с категориальной точки зрения: многие концепции представлены и подчеркнуты с точки зрения стрелки. У него также есть то же ограничение, что и у книги Алуффи: он не использует ничего более сложного из пределов и универсальных свойств.

Если вы хотите увидеть более продвинутое применение теории категорий, в алгебраической топологии Спаниера используются такие вещи, как лемма Йонеды, хотя иногда это приложение не делается явным.

Еще одним очень хорошим справочником о применении теории категорий к алгебраической топологии является « Алгебраическая топология Агилара, Гитлера и Прието с гомотопической точки зрения» : в этой книге вы действительно можете увидеть множество приложений теории категорий к топологии (в качестве примера, если я правильно помните, есть доказательство того, что категория компактно порожденных пространств является декартово замкнутой через теорему о присоединенном функторе ).

В 2006 году я написал книгу «Введение в алгебру, топологию и теорию категорий», в которой именно эти вопросы рассматриваются. В настоящее время он доступен бесплатно по адресу www.hyperonsoft.com/algbk.pdf .

Главы 2 и 3 охватывают универсальную алгебру и теорию порядка. Главы 4-10 посвящены основам абстрактной алгебры. Главы 11–13 охватывают теорию моделей, теорию вычислимости и теорию категорий через абелевы категории. Более поздние главы свободно опираются на главу 13. Книга была проверена MAA.

Ответы на MSE должны быть как можно более автономными. Не рекомендуется публиковать ответы, которые почти полностью состоят из ссылок на другие ресурсы — такие ссылки могут страдать от «гниения ссылок» или вести в места, недоступные для всех (например, на физическую книгу, которую читатель может не получить доступ). В то время как ваша книга может содержать ответ на этот вопрос, ответ, который вы разместили здесь, не содержит.
Вы можете выполнить поиск в Интернете по названию. Текст, кажется, доступен по некоторым другим ссылкам. Людям, интересующимся этой темой, следует знать об этом тексте.
@XanderHenderson На вопрос о «справочном запросе» это кажется разумным ответом. Возможно , в ответ можно было бы добавить имя автора, первоначального издателя (если есть) или ссылку на вышеупомянутый обзор MAA на случай, если он когда-нибудь удалит свой аккаунт, но в остальном я не вижу в этом ничего плохого.
Я согласен с Арно Д. , это честный ответ, и он заслуживает того, чтобы остаться. Пожалуйста, не удаляйте его.
Теперь это доступно на сайте b-ok.org; поиск по заголовку.

Вам следует взглянуть на Категориальные основы Педиккио и Толена.

Обратите внимание, что эта книга уже упоминается в ответе Владимира Сотирова.

Сам Маклейн написал книгу по алгебре https://www.amazon.com/Algebra-Chelsea-Publishing-Saunders-Lane/dp/0821816462 , в которой широко используются категориальные инструменты. Настоятельно рекомендуется, и на самом деле он подходит к некоторым продвинутым материалам (для выпускников).

Для категорического взгляда на общую топологию и некоторого обсуждения алгебраической топологии есть удачно названная « Топология: категорический подход» Брэдли, Брайсона и Териллы. В предисловии говорится, что они охватывают некоторые из тех же тем, что и «Топология и группоиды» Рональда Брауна, но их взгляды с самого начала более категоричны. Обсуждения фундаментальных аспектов алгебраической топологии, таких как накрывающие пространства, гомологии и когомологии, опущены, но текст служит хорошим учебником для подготовки к более всестороннему рассмотрению алгебраической топологии, которое можно найти в таких текстах, как Бредон (1993), Том Дик (2008) и др.

Категориальное введение в алгебру и топологию
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v