Мотивация и использование теории категорий?

Лично я нахожу чистую теорию категорий ради нее самой довольно трудной для понимания и предпочитаю думать о ней на реальных примерах ее использования. Итак, позвольте мне привести несколько примеров (исторических) того, как абстракция теории категорий привела к значительным математическим достижениям.

1. Существует теория этальных когомологий. Этальные когомологии — это вариант стандартных когомологий пучков, с которыми вы сталкиваетесь в курсах алгебраической геометрии*. Отправной точкой является категорическое наблюдение: аксиомы пучков в основе своей функториальны; пучок на топологическом пространстве$X$является контравариантным функтором из категории открытых множеств$X$(с морфизмами включениями), удовлетворяющее некоторому свойству точности. При такой интерпретации можно говорить о пучках на общей категории с подходящим понятием покрытия (т. е. о топологии Гротендика). Если использовать разные категории (например, узел Зарисского дает регулярные пучковые когомологии, а этальный узел дает этальные когомологии), можно получить разные теории когомологий. (Кстати, в качестве другого примера, в теории этальной фундаментальной группы Гротендик развил абстрактный подход к теории Галуа, который не только проясняет аналогию между теорией Галуа и классификацией накрывающих пространств, но и позволяет построить чисто категорически алгебраическое$\pi_1$.)

2. В гомотопической теории язык модельных категорий Квиллена объединил идеи гомотопической теории симплициальных множеств и гомотопической теории топологических пространств. Другими словами, чтобы заниматься гомотопической теорией на этом языке, просто нужна категория с подходящей структурой на ней (отображения, обозначаемые как корасслоения, расслоения и слабые эквивалентности; предполагается, что они абстрагируют понятия корасслоения Серра, расслоения и слабой гомотопии). эквивалентность и удовлетворяют свойствам поднятия), и только из этого можно построить гомотопиюкатегория. Это позволило Квиллену эффективно находить новые примеры модельных категорий, которые нельзя сразу связать с «гомотопической теорией», например модельную категорию симплициальных коммутативных колец; с помощью этого и абстрактного определения гомологии он смог построить так называемый кокасательный комплекс и, таким образом, когомологии Андре-Квиллена кольца (которые были выдвинуты Гротендиком).

3. Сами симпликативные множества можно рассматривать чисто комбинаторно: они представляют собой последовательность множеств$X_n$с подходящими картами границы и вырождения, и это все, что нужно. Но для человека эта последовательность обозначений несколько сложна и неинтуитивна; гораздо чище использовать язык категорий и говорить, что они являются (контравариантными) функторами из категории конечных упорядоченных множеств в категорию множеств. Это позволяет легко создавать такие вещи, как стандартный$n$-симплекс$\Delta[n]$и увидеть его универсальное свойство (потому что это просто следствие общей категорической бессмыслицы, леммы Йонеды). Одним из преимуществ категорического мышления является то, что, хотя я очень мало знаю об этом, на самом деле существует общая теория (очевидно, разработанная Чисински ) построения модельных структур на предпучковых категориях.

4. В математике часто случается, что объект каким-то образом параметризует семейство вещей. Например, схема Гильберта параметризует замкнутые подсхемы проективной схемы, а само проективное пространство параметризует линейные расслоения вместе с набором образующих; есть еще множество примеров. В каждом из них немного сложно указать, что именно означает «параметризует»: элегантный подход состоит в том, чтобы сказать, что некоторый данный функтор представим . Другими словами, это означает, что некоторый функтор$F$могут быть реализованы как карты в некоторый объект$X$, который является «универсальным» параметризующим объектом. Часто представляет интерес дать какие-то конкретные критерии представимости общего функтора (и в этом суть категорического подхода; доказательство представимости в отдельности для одного конкретного функтора есть задача, которую можно было бы априори сформулировать без обращения к категории теория). В алгебраической топологии довольно впечатляющий результат ( теорема Брауна о представимости ) утверждает, что все, что выглядит как когомология (в частности, любая экстраординарная теория когомологий), представимо в гомотопической категории, по крайней мере, если вы придерживаетесь CW-комплексов. Это действительно всеобъемлющий результат, поскольку он применим к очень большому классу функторов.**

(В алгебраической геометрии мне неизвестны такие сильные условия достаточности . С другой стороны, существуют довольно строгие необходимые условия, которым должен удовлетворять любой представимый функтор на категории схем — такие функторы должны быть пучками в подходящих топологиях Гротендика. (см. 1 выше). На практике это тип условия спуска.)

* Я думаю, можно разумно утверждать, что даже введение когомологий пучков было революцией категорического подхода: когомологии пучков (в наиболее общем виде) определяются как производный функтор от категории пучков, но производный функтор от абелевой категории, а не что-то другое . что, очевидно, является категорией модулей. (Понятие вывода функторов из абелевой категории было, если я не ошибаюсь, введено Гротендиком в статье Тохоку.)

** Одно интересное приложение этого относится к случаю сингулярных когомологий. Смысл в том, что если$X$является CW-комплексом, то существует фиксированное пространство$K(G, n)$(для каждой абелевой группы$G$и$n \in \mathbb{Z}$) такие, что гомотопические классы отображений$X \to K(G, n)$естественно находятся в биекции с классами когомологий в$H^n(X, G)$. Отсюда следует, что$K(G, n)$может иметь только одну ненулевую гомотопическую группу, и следствием этой категорической бессмыслицы являются пространства Эйленберга-Маклана . (Справедливости ради, я, вероятно, должен указать, что, например, построение Хэтчером пространств Эйленберга-Маклана является в основном игрушечным аналогом доказательства представимости Брауна.)

Наконец, одно важное преимущество категориальной философии (на которое я уже намекал) состоит в том, что она позволяет повторно использовать идеи. Некоторые идеи, такие как лемма Йонеды или идея универсального свойства, требуют некоторого времени для осмысления, но они обнаруживаются так поразительно часто в различных математических дисциплинах, что просто эффективнее один раз доказать их в максимальной общности, чем переделывать заново. частный случай этого снова и снова. Возможно, одна из причин этого заключается в том, что в математике встречается так много конструкций (касательное расслоение к гладкому многообразию, сингулярные (ко)гомологии или гомотопические группы топологического пространства, тензорное произведение модулей (или колец), операция замены базы в алгебраической геометрии) в конечном счете являются функторами.

Когда я учился в аспирантуре, у меня была идея, что теория категорий — удобный язык для изложения вещей, но не дает никаких глубоких результатов. Однако теперь я верю, что ничто не может быть дальше от истины! Теория категорий теперь показала себя невероятно полезной в топологии для очень конкретных задач, таких как нахождение инвариантов узлов и даже инвариантов 3-х и 4-многообразий. Инварианты Решетихина-Тураева, интеграл Концевича и гомологии Хованова являются мощными инвариантами зацеплений, которые возникают благодаря категориальному подходу.