Испытывала ли наша Вселенная фазу с преобладанием кривизны?

Давайте проанализируем эволюцию кривизны в$\Lambda\text{CDM}$модель. Если$\rho_R$,$\rho_M$, и$\rho_\Lambda$- плотности излучения, вещества и темной энергии, а

$$\rho_c = \frac{3H^2}{8\pi G}$$ — критическая плотность, то мы можем определить $$\Omega_{R} = \frac{\rho_{R}}{\rho_{c}},\quad \Omega_{M} = \frac{\rho_{M}}{\rho_{c}},\quad \Omega_{\Lambda} = \frac{\rho_{\Lambda}}{\rho_{c}},$$ и количество $$\Omega_{K} = 1 - \Omega_{R} - \Omega_{M} - \Omega_{\Lambda},$$ которое может служить мерой кривизны: если $\Omega_{K} = 0$Вселенная плоская, если $\Omega_{K} < 0$кривизна положительна, и если $\Omega_{K} > 0$кривизна отрицательная. Мы можем записать эти величины в терминах их современных значений (обозначенных нижними индексами « $0$") следующее: $$\rho_R = \rho_{R,0}\, a^{-4},\quad \rho_M = \rho_{M,0}\, a^{-3},\quad \rho_\Lambda = \rho_{\Lambda,0},$$ где $a$масштабный коэффициент с текущим значением $a=1$, так что $$\Omega_{R} = \Omega_{R,0}\frac{H_0^2}{H^2}a^{-4},\quad \Omega_{M} = \Omega_{M,0}\frac{H_0^2}{H^2}a^{-3},\quad \Omega_{\Lambda} = \Omega_{\Lambda,0}\frac{H_0^2}{H^2}.$$ Из уравнений Фридмана мы также находим ( подробности см. в этом посте ), что $$H^2 = H_0^2\left(\Omega_{R,0}\,a^{-4} + \Omega_{M,0}\,a^{-3} + \Omega_{K,0}\,a^{-2} + \Omega_{\Lambda,0}\right),$$ так что $$\Omega_{K}(a) = \frac{\Omega_{K,0}\,a^{-2}}{\Omega_{R,0}\,a^{-4} + \Omega_{M,0}\,a^{-3} + \Omega_{K,0}\,a^{-2} + \Omega_{\Lambda,0}}.$$ Отсюда мы узнаем следующее:

• Если$\Omega_{K,0}=0$, затем$\Omega_{K}\equiv 0$. То есть, если сегодня Вселенная точно плоская, она всегда была плоской и всегда будет.
• Как$a\rightarrow\infty$, термин$\Omega_{\Lambda,0}$доминирует, так что$\Omega_{K}\rightarrow 0$. Другими словами, если$\Omega_{K,0}\ne 0$, кривизна Вселенной в будущем уменьшится до нуля под влиянием темной энергии.
• Как$a\rightarrow 0$, термин$\Omega_{R,0}$доминирует, и снова$\Omega_{K}\rightarrow 0$. Так что в далеком прошлом кривизна Вселенной тоже была очень близка к нулю; это известно как проблема плоскостности и одна из причин существования инфляционной эпохи.

С$|\Omega_{K}|$обращается в нуль в прошлом и будущем, оно должно было иметь максимальное значение в какой-то промежуточный момент времени, если сегодня оно не равно нулю. Этот максимум возникает, когда производная$\Omega_{K}(a)$равен нулю. После некоторой алгебры это сводится к решению

$$2\,\Omega_{R,0}\,a^{-4} + \Omega_{M,0}\,a^{-3} - 2\,\Omega_{\Lambda,0} = 0.$$ Между прочим, это также момент, когда расширение Вселенной перешло от замедления к ускорению (т.е. когда $\ddot{a}=0$, подробности по предыдущей ссылке). Использование значений $\Omega_{R,0}\approx 0$, $\Omega_{M,0}\approx 0.3$и $\Omega_{\Lambda,0}\approx 0.7$, находим решение $$a_m \approx \left(\frac{\Omega_{M,0}}{2\,\Omega_{\Lambda,0}}\right)^{1/3} \approx 0.6,$$ и соответствующая кривизна $$\Omega_{K,m} \approx \frac{\Omega_{K,0}\,a_m^{-2}}{\Omega_{M,0}\,a_m^{-3} + \Omega_{K,0}\,a_m^{-2} + \Omega_{\Lambda,0}} \approx \frac{\Omega_{K,0}}{\Omega_{K,0} + (3/2)\,\Omega_{M,0}\,a_m^{-1}} \approx \frac{\Omega_{K,0}}{\Omega_{K,0} + 0.75}.$$ Наблюдения показывают, что современная кривизна $$-0.02 < \Omega_{K,0} < 0.02,$$ чтобы минимальная/максимальная кривизна была $$-0.027 < \Omega_{K,m} < 0.026.$$ Другими словами, кривизна Вселенной всегда была небольшой.