Тензор энергии-импульса от действия поля материи

В настоящее время я знакомлюсь с некоторыми основными понятиями общей теории относительности и наткнулся на проблему, которая, вероятно, довольно проста. Я имею в виду книгу Хобсона, стр. 541 и 548, где тензор энергии-импульса для простого действия поля материи$S$,

$$T_{\mu\nu} = \frac{2}{\sqrt{-\det g}}\frac{\delta S}{\delta g^{\mu\nu}},$$ рассчитывается как пример:

$$S = \int d^4x\sqrt{-\det g}(\frac{1}{2}g^{\mu\nu}(\nabla_\mu \Phi)(\nabla_\nu \Phi)-V(\Phi))$$ $$\delta(\det g) = \det g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu} = -\det g g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} \Rightarrow \delta\sqrt{-\det g} = -\frac{1}{2}\sqrt{-\det g}g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$$ $$\begin{eqnarray} \delta S &=& \int d^4x[\sqrt{-\det g}\frac{1}{2}\delta g^{\mu\nu}(\nabla_\mu \Phi)(\nabla_\nu \Phi) + \delta(\sqrt{-\det g})(\frac{1}{2}g^{\alpha\beta}(\nabla_\alpha \Phi)(\nabla_\beta \Phi)-V(\Phi))] \\ &=& \int d^4x\sqrt{-\det g}\frac{1}{2}[(\nabla_\mu \Phi)(\nabla_\nu \Phi) -g_{\mu\nu}(\frac{1}{2}g^{\alpha\beta}(\nabla_\alpha \Phi)(\nabla_\beta \Phi)-V(\Phi))]\delta g^{\mu\nu} \end{eqnarray}$$

и у одного есть$T_{\mu\nu} = [...]_{\mu\nu}$

Моя проблема сейчас такова: если я вычислю

$$T^{\mu\nu} = \frac{2}{\sqrt{-\det g}}\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}$$ таким же образом, используя первый член для $\delta\sqrt{-\det g}$вместо второго я нахожу тот же термин для $T$как и раньше (конечно, с индексами вверх), но с плюсом вместо минуса между производным-членом и лагранжевым членом в $T$.

Но это неправильно, не так ли? Так что я делаю неправильно?