Функциональная производная и вариация действия SSS против лагранжевой LLL против лагранжевой плотности LL\mathcal{L} против лагранжевой 4-формы LL\mathbf{L}

Я видел много потенциальных злоупотреблений в обозначениях, которые мешают мне ясно понять вариационные методы в КТП и ОТО, и я хочу решить эту проблему раз и навсегда. Это может быть немного долго, но я думаю, что стоит собрать все в одном месте.

Функциональная производная в КТП

Предположим, я хочу получить уравнение движения. Если я следую стандартному определению (например, Википедия , которая, насколько я помню, дает стандартное выражение), учитывая действие для теории поля формы

$$S[\Phi] = \int d^4x\,\mathcal{L}[\Phi,\partial_\mu\Phi]$$ где$\Phi$это конкретное поле, которое нас интересует. Я установлю вариант действия$\delta S=0$. Теперь эта вариация формально определяется как $$\begin{align} \delta S := \int d^4x\, \frac{\delta S}{\delta \Phi}\delta\Phi \end{align}$$ и мы формально определяем величину$\delta S/\delta\Phi$быть функциональной производной от$S$в отношении$\Phi$(может быть строгая альтернатива/интерпретация с использованием производной Фреше, с которой я не знаком, поэтому я признателен, если кто-нибудь может это прояснить).

Теперь выражение на правой стороне$\delta S$бессмысленно, если я не знаю, что$\delta \Phi$и функциональная производная$\delta S/\delta \Phi$. Это решается с помощью некоторого подходящего пространства пробных функций, которое для асимптотически плоского пространства-времени было бы пространством функций, обращающихся в нуль на границе$\partial M$коллектора$M$(например, компактно поддерживаемые функции на$M$, обозначенный$C^\infty_c(M)$). Если$h\in C^\infty_c(M)$, у нас есть

$$\begin{align} \int d^4x\,\frac{\delta S}{\delta \Phi}h = \lim_{\epsilon\to 0}\frac{S[\Phi+\epsilon h]-S[\Phi]}{\epsilon} = \left.\frac{d}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0}S[\Phi+\epsilon h]\,, \end{align}$$ и то, что мы обычно называем$\delta \Phi$на самом деле$\epsilon h$, что согласуется с названием «вариация$\Phi$". Приведенное выше выражение также дает определение того, как взять функциональную производную любого функционала. Затем стандартное уравнение Эйлера-Лагранжа для теории поля получается, говоря, что$\delta S=0$для всех вариаций$\delta\Phi$которые обращаются в нуль на границе, откуда тогда следует, что $$\begin{align} 0 = \frac{\delta S}{\delta\Phi} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\Phi}- \partial_{\mu}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\Phi)}\,. \end{align}$$ Хотя для некоторых это может быть очевидно, следует подчеркнуть, что$\partial \mathcal{L}/\partial \Phi$не функция , а функционал$\Phi,\partial_\mu\Phi$: просто заметьте, что$\Phi=\Phi(x^\mu)$. За этим следуют, например, тексты QFT Бланделла , неявно Пескина и многие другие места.

Если мы будем следовать маршруту КТП Вайнберга, вместо этого он работает с лагранжианом:

$$\begin{align} L = \int d^3x\,\mathcal{L}(\Phi,\partial_\mu\Phi)\,,\hspace{0.5cm} S= \int d x^0 L\,, \end{align}$$ а затем показать, что то же самое уравнение Эйлера-Лагранжа получается, когда$\delta L = 0$. Вы можете проверить в учебнике Вайнберга, что используемые шаги точно такие же, как я изложил, используя действия$S$за исключением того, что он решил работать с$L$, обычный лагранжиан (не лагранжева плотность) вместо полного действия$S$.

Q1: почему мы можем сделать эти два разных варианта$\delta S=0$и$\delta L=0$и получить тот же ответ? Ясно, что есть какая-то связь между$\delta S$и$\delta L$, но моя проблема связана с этой проблемой: мне кажется, что вариант$\delta\Phi$выглядит по-разному в этих двух случаях, так как один из них является вариацией под$d^4x$а другой в$d^3x$: эффективно, тестовая функция$\delta\Phi\equiv \epsilon h$для$\delta L$случае нужно заботиться только о пространственном интеграле, а$\delta S$требует пространственно-временного интеграла. Либо они означают одно и то же, либо какая-то тонкая вещь, которую я упустил, делает их равными в конце.

ОБНОВЛЕНИЕ 1: я думаю, что, возможно, понял Q1 (или, по крайней мере, частично). Это связано с тем, что Вайнбергу пришлось разделить Эйлера-Лагранжа на производные по пространству и производные по времени, поэтому он рассматривал$\partial_j\Phi$и$\dot{\Phi}$отдельно (см. обсуждение его уравнения (7.2.1-7.2.7) или около того). Я, конечно, мог бы использовать некоторые разъяснения/подтверждения.

Функциональная производная в ОТО

В ОТО есть ситуация, в которой вы хотите работать с каноническим формализмом, который приводит вас к пониманию поверхностных зарядов и сохраняющихся величин, подобных приведенным выше. Обычное отличие, однако, состоит в том, что метод формирует формально дифференциальные формы, чтобы все работало. Вы работаете не с лагранжевой плотностью, а с лагранжевой 4-формой$\mathbf{L}$(см., например, формализм Айера-Вальда или расширенные конспекты лекций по ОТО от Compere здесь, среди многих других). Здесь,$\mathbf{L} = L\,d^4x$так$L$на самом деле является лагранжевой плотностью, как мы обычно знаем в КТП. Для удобства давайте сосредоточимся на примечаниях Компера (которые довольно чисто и хорошо написаны) .$\mathbf{L}$это тот, который дает уравнение движения, и они формально определяют

$$\begin{align} \frac{\delta L}{\delta \Phi}:=\frac{\partial L}{\partial \Phi}-\partial_\mu\frac{\partial L}{\partial (\partial_\mu\Phi)}\,. \end{align}$$

Насколько я знаю, в тех контекстах, где кто-то работает с лагранжевой 4-формой и симплектическим формализмом, расчет является строгим (по модулю проведения жесткого анализа), т. е. нет махания руками и чего бы то ни было, но определения здесь для меня несовместимы с КТП. Я писал выше: ведь в этих двух статьях/заметках$L$является лагранжевой плотностью и, следовательно, было бы, заменив$L$с$\mathcal{L}$чтобы соответствовать версии QFT, означает, что уравнение Эйлера-Лагранжа

$$\begin{align} 0=\frac{\delta \mathcal L}{\delta \Phi} \neq \frac{\delta S}{\delta \Phi}\,,\frac{\delta L_{\text{Weinberg}}}{\delta \Phi}\,. \end{align}$$ Заметим также, что в этом формализме определение сохраняющегося тензора напряжений также следует из вариации лагранжевой 4-формы относительно инфинитезимального диффеоморфизма, порожденного вектором$\xi^\mu$, т.е. $$\begin{align} \delta_\xi\mathbf{L} = \text{d}(...)\Longrightarrow \partial_\mu T^{\mu\nu} = 0\,. \end{align}$$ где$\text{d}(...)$является внешней производной некоторой 3-формы (т.е. RHS является точной 4-формой).

Q2: это злоупотребление обозначениями, непоследовательность, или я здесь что-то принципиально упускаю?

Из всех людей мне трудно поверить, что Вальд/Компер (и многие другие, которых я не могу вспомнить) злоупотребляют обозначениями такого рода (если вообще злоупотребляют), так что либо я упускаю что-то тривиальное, либо происходит что-то, что я не понимаю.